所以，积分
I?2??0.63212?0.71327。
9. a?(2R?H?h)/2?7782.5，
.5， c?(H?h)/2?972?所以
S?4a?20c221?()sin?d?a
?0
＝4×7782.5×1.56529 ＝48728
（可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式
?4?7782.5?21?0.0156s1in?d?2sinx?x?nsinx33!?54x55!??
?n有 由于
limn?sinn??????323!n??1h5!n??
?n??，用外推算法，令
T(h)?sin?h，则
111T()?3.1058,3T()?2.59808,T()?3,3 6 12 1411114111T1()?T()?T()?3.13397T1()?T()?T()?3.1411133633631236， 116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153，
，
即?的近似值为3.14159。 11. 1) 计算结果如下表
k 0 1 2 3
即积分I＝1.09862。
t?22) y三点高斯公式
1?1I??31y1dyT2k S2k C2k R2k 1.33333 1.16667 1.11667 1.10321 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 ?31dy??11dt，令
f(t)?1t?2
I?59f(?155)?89f(0)?59f(155)?1.09804五点高斯公式
?0.23693f(0.90618)
I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847) ＝1.09862。
3)
I??31y1y(?13dy
???1dy?1?21y11.5dy??2.51y2dy??31y2.5dy
dt?14?10.25t?1.25dt??1110.25t?1.75?1?110.25t?2.25?1dt??110.25t?2.75?1dt)
对每个积分用高斯公式 ?I＝1.09854。
?1f(x)dx?f(?33)?f(33)，得
此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式：
f?(1.0)?f?(1.1)?f?(1.2)?12?0.112?0.112?0.1[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.247[?f(1.0)?f(1.2)]??0.217[?f(1.1)?f(1.3)]??0.189
。
?3?4?5f?(x)??2(1?x)， f??(x)?6(1?x)， f???(x)??24(1?x)
f?(1.0)的误差
|R1|?h23hf???(?)?20.132?24(1?1.2)2?5?1.55?10?3
6?24(1?1.2)?5f?(1.1)的误差
|R2|??6f???(?)??40.1?7.8?10?4
f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。
五点公式：
f?(1.0)?f?(1.1)?f?(1.2)?112?0.1112?0.1112?0.1?3[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.2483[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.2163[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.1883
。
误差分别为
R1?1.7?10R2?3.4?10R3?4.7?10， ， 。
?4?4第五章 常微分方程数值解法习题参考答案
yn?1?yn?h(axn?b)?n(n?1)2ah?nbh2n1． 尤拉法表达式
yn?1?yn?h2，误差22ah2，改进尤拉法表达式
?f(xn,yn)?f(xn?h,yn?hf(xn,yn))??n22ah?nbh，无误差。 准确解 2.04424 2.32751 2． 0.1 0.2 近似解 1.11 1.24205 准确解 1.11034 1.24281 0.6 0.7 近似解 2.04086 2.32315 0.3 0.4 0.5 3． 1.39847 1.58181 1.79490 1.39972 1.58365 1.79744 近似解 0.0055 0.0219275 0.0501444 0.0909307 0.144992 0.8 0.9 1.0 2.64558 3.01237 3.42817 准确解 0.00516258 0.0212692 0.0491818 0.0896800 0.143469 2.65108 3.01921 3.43656 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 4．
yn?1?yn?h2(?y，即
yn?1?2?h2?hyn，又由
当
h?0y(0)?1，
2?h2?h0nh?则
h?有
2h2?h)0yn?1?(2?h2h?h?hn2?h2?h2)n。
?hnh2时，
0。
5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。
h?0h?limyn?lim()?lim(1??2lime??e?xn26． (1) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 近似解 1.24280 1.58364 2.04421 2.65103 3.43655 h2(2) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 h2近似解 1.72763 2.74302 4.09424 5.82927 7.99601 K2?fn?th(fx?f?fy)n?o(h)7． K1?fn，，K3?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n?o(h)，则
??yn?hy'n??hfn?h22y\n?yn?h2(fn?th(fx?f?fy)n?fn?(1?t)h(fx?f?fy)n)?o(h)2222(fx?f?fy)???x?f23?(2fn?h(fx?f?fy)n)?o(h)?o(h)K2?fn?132
hDfn?2D?1188． (1)令
?y，泰勒展开可得K1?fn，
23hK2)?fn??1632hDfn?o(h)2222，
K3?f(xn?h,yn?12223h(D?13hDf?n?y3)fn?29hDfn?o(h)，同理有
yn?1?yn?hfn?hDfnh(Df?fyD)fn?o(h)， 代入龙格-库塔公式可得
K2?fn?122??o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1?fn，K3?f(xn?34h,yn?1223hDfn?218hDfn?o(h)2222，
34hK2)?fn??163234h(D?12hDf?n?y3)fn?932hDfn?o(h)，同理有
yn?1?yn?hfn?hDfnh(Df?fyD)fn?o(h)， 代入龙格-库塔公式可得
??o(h)。
39． 二阶显式公式为
yn?1?yn?h2yn?1?yn?h2(2?yn?1?yn)?0.62，6二阶隐式公式为，代入得y(1.0)(2?yn?yn?1)，代入得y(1.0)?0.633，真解为y(1.0)?0.6321。
10．
yn?1?yn?hy(1)n(1)n2?h22(2)ny(2)n3?h36y(3)n?o(h)33，y'n?1?yy'n?1?y(1)n(1)n?hyh2(2)n?h22yn?o(h)2(3)2，
yn?1?yn?hy?h2y?h6yh)(3)n?o(h)，
?hy(2)n?2yn?o(h)(3)，代入得
??58h3yn(3?(o)h)?(1)n3(o2253，截断误差首项为8(2)nhyn3(3)。
y'n?1?y(1)n11．
yn?1?yn?hy(1)n?2h2y?h36y(3)n?o(h)33，
?hy(2)n?h222yn?o(h)(3)2，
yn?2?yn?2hyyn?1?yn?hy?2hyh2(2)n?h4h33yn?o(h)3(3)，
y'n?2?yn?2hyn(1)(2)?2hyn?o(h)(3)2，
(1)n?2y(2)n?6yn?o(h)(3)，代入待定系数的公式中可得系数之间的关系式
，
a1?4a2?2b1?4b2?1为
a0?a1?a2?1，
?a1?2a2?b0?b1?b2?1，
?a1?8a2?3b1?12b2?1。
12．
(1)
y'?z,z'?3z?2y，其中
y(0)?1,z(0)?1。(2)
3y'?z,z'?0.1(1?y)z?y，其中
2x'?a,a'??y(0)?1,z(0)?0x(x?y)22,y'?b,b'??y(x?y)223。(3)
(y0?)0b，其中
x(0?)13．
, ?。
用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得
y31?2y16?30y2,1?6y3?31?6.此88方程组可得，2解
a0?,?31y1?16y2?0,1y16?y1?0.494380,y2?0.957862,y3?1.36148。
14．
h?1,xn?n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得
22yn?1?2yn?yn?1?1?nh?nh?(n?1)h?(n?1)h21,y02?622?1?(n?1)h?(n?1)h24y2?2?522，即差分法求出
y11?.y28?,，2y9?的解恒等于准确解。
15．
差分方程
6y0?5y1?y1?5?534y2?68y3?31y4?0.6,41y3?81y4??72.2y2?1.07010,y3?1.21030,y4?1.51329，代入得y0?1.01487,y1?1.01785，
。
第六章 方程求根
21. 令f(x)?x?x?1，则f(0)??1?0,f(2)?1?0.
ak bk xk k f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 0 1 1.5 1.5 1.5 1.5625 2 2 2 1.75 1.625 1.625 1 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.5938 － － ＋ ＋ － － 2.
x，在x?1.5附近，3. 1)
迭代公式收敛。
32?(x)?1?12|??(x)|?2x2?1，
?1 2) ?(x)?1?x，在x?1.5附近，迭代公式收敛，迭代得近似值1.466。
?(x)?1x?1，
|??(x)|?2x3(1?x)22/3
|??(x)|?12(x?1)3/2 3)
迭代公式发散。
4. 1) 二分14次得0.0905456； 2) 迭代5次得0.0905246。
2，|??(1.5)|?1.414?1，
5. 迭代函数?(x)?x???f(x)， ??(x)?1???f?(x)， 由已知
即迭代过程收敛。
0?f?(x)?M??，有0???f?(x)?2，所以|??(x)|?1.
?16. 将x??(x)转化为x??(x)，此时
|??1(x)?|?1??(x)3?1k?1.
在x?4.5附近，x?tgx?tg(x??)，所以迭代格式为x?arctgx??，迭代三次得4.4934。 7. 1) 牛顿法迭代格式 2) 弦截法迭代格式
xk?1?xk?f(xk)f?(xk)?2xk?13xk?32，迭代三次得1.879。
，迭代三次得1.879。
xk?1?xk?f(xk)f(xk)?f(xk?1)(xk?xk?1) 3) 抛物线法 f(x0)??3,f(x1)?17,f(x2)?1，
f[x1,x0]?10,f[x2,x1]?16,f[x2,x1,x0]?6,
故 ??f[x2,x1]?f[x2,x1,x0](x2?x1)?10，
xk?1?xk?2f(xk)则
8. 最小正根为4.4934。
1????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2，迭代三次得1.879。
9.
xk2(xk?axk22k)?12??2a?12ax2ka，即xk?12(1?aa)?1a。
xk?1?1xk?a2x(1?)?，
即xk?1?xk，序列单调递减。
?(x)?x?f(x)f?(x)，且有
10. 迭代函数为
?(x)?x,??(x)?0,???(x)?xk?x??2?????f??(x)?f?(x)， .
limxk?xk???lim，
k??(xk?1?x)??f??(x)?2f?(x)xk?xk?1??(xk?1)??(xk?2)