??(xk?1)?[?(xk?1)???(xk?1)(xk?2?xk?1)????(xk?1)(xk?2?xk?1)?1212???(?k?1)(xk?2?xk?1)]22

???(?k?1)(xk?2?xk?1)

2?其中?k?1介于xk?1与xk?2之间。将上式两边除以(xk?1?xk?2)，并将??(xk)在x处泰勒展开得

xk?xk?1(xk?1?xk?2)2??1212???(?k?1)???(xk?1)xk?1?xk?2 ????(x)????(?k?1)(xk?1?x)(xk?1?x)?(x?xk?2)???????(?k?1)?

2??12???(?k?1)???(?k?1)?xk?1?x?xk?1?x?(xk?2?x)2?

(xk?2?x)??1x?xk?2，

???lim??xlim??x?其中?k?1介于xk?1与x之间。将上式两边取极限，及k??k，k??k，得

limxk?xk?1(xk?1?xk?2)2k????12lim???(?k?1)??k???f??(x)?2f?(x)。

11. 1) 2)

xk?1?xk?f(xk)f?(xk)f(xk)f?(xk)??xk12?p，迭代格式发散。

xk?，迭代格式收敛，且收敛到x?0。

xk?1?xk???limek?1ek要使

k???limxk?1?x???limk??k??(xk?x)xk2?C(C?0为常数)pxk，

1则p?1，为一阶收敛。

312. 令f(x)?x?a，迭代公式为

xk?1?xk?f(xk)f?(xk)?3?xk?xk?a3x2k3?2xk?a3xk23。

?(x)?2x?a3x23，则

??(x)?23?a3?(?2)x，所以??(a)?0，

axk32?4?1/3?0，因此迭代格式为线性收敛。 又 ???(x)?2ax，所以???(a)?2axk?1?xk?f(xk)f?(xk)1??xk?2axk?3axk?xk2a313.

n14. 求a的迭代公式分别为

，

取a?115,x0?10，迭代三次得115?10.7238。

(n?1)xk?anxn?1knxk?1?， ，则

xk?1??xkn?1anx?(1?1n)xk

设迭代函数为

?(x)??xn?1an?(1?1n)x???(x)??n?1an?1，

lim(na?xk?1)/(na?xk)?k??2???(na)2!22??n?12an?1an?(1?n)/2na.

15. 记迭代函数

?(x)?x(x?3a)3x?a，则?(a)?a，

23由上 (3x?a)?(x)?x?3ax ① 22两边求导得 6x?(x)?(3x?a)??(x)?3x?3a

则可得 ??(a)?0

2对①式两边求二阶导数得 6?(x)?12x??(x)?(3x?a)???(x)?6x

则可得 ???(a)?0

对①式两边求二阶导数得 3?6??(x)?3?(6x)???(x)?(3x?a)????(x)?6则可得 所以迭代公式是三阶方法，且

k??2

????(a)?32a

3lim(a?xk?1)(a?xk)?????(a)3!?14a.

第七章 解线性方程组的直接方法习题参考答案

1．

(a)高斯消去法解得x1??0.1670,x2??1.6504,x3?2.1967,x4??0.4468；(b)列主元消

ai?1,1a1,j?1a11aj?1,1a1,i?1a11去法解得x1??0.181919,x2??1.66303,x3?2.21723,x4??0.446704。

2．

(a)

A2(ij)?ai?1,j?1??aj?1,i?1??A2(ji)，故A2对称。(b) 高斯消去法解

得x1?4.58669,x2??0.631523,x3?2.73520。

k?1a3．

(a)

urj?a(r)rj(k)ij?a(k?1)ij?mi,k?1aukj(k?1)k?1,j?a(1)ij??mitatjt?1(r)ir(t)，(b)由

r?1mir?lir,arj?urjukr)/urr(r)及(a)的结论可得

r?1?arj??lk?1rk,

lir?mir?a/a(r)rr?(air??lk?1ik。

4．

(i)ua?uii?0，iiiiULUA因为非奇异，的对角元不为零，又分解等价于高斯消去法，

由引理可知，矩阵A的顺序主子式均不为零。

5．

高斯消去法第k步等价于左乘单位下三角矩阵Lk，而顺序主子式均不为零保证所得

(n)矩阵对角元不为零，可进行第k?1步消元，U?AA2ii?a(2)ii?Ln?L1An，A?L1?LnU?LU?1?1。

?aii?a1iai1/a11?aii?a1iai1/a11?nn6．

n?j?2,j?inaij?ai1(a11?a1i)/a11aij(2)?，则2是对角优势阵，故

高斯消去法与部分选主元高斯消去法对于对称的对角优势阵每一步均选取同样的主元，得出的是同样的结果。

j?2,j?ij?2,j?ij?2,j?ij?2,j?i?aij?ai1?a1j/a11??aij?ai1a1j/a11??A7．

Ti(1)

aii?eiAei?0TiT，(2)

aij?aij?a1jai1/a11?aji?a1iaj1/a11?aji(2)(2)，又有当?i?2时

?1eAei?e??b10??a11??In?1??0Ta1?T?ei?(ei)n?1A2(ei)n?1?0A2?，故

A2是对称正定矩阵，(3)

(2)2a?maxaij,x?yaii?aij?a1iai1/a11?aii?a1i/a11?aii，(4)若xy，令A'?I1yAI1y，由于A'(2)2和A2'也是对称正定矩阵，代入得axx'?axx'?a1x'ax1'/a11'?axx'?ax1'/a11'?0，矛盾，故A的绝对值最大的元素必在对角线上，(5)2?i,j?nAkmaxaij(2)?axx?axx?maxaij2?i,j?n(2)，(6)对所有k均有

对称正定，

aij(k)?aij(k?1)???aij?1。

8． 9．

?1???ILI??Lkijkij????1mk?1,kmn,k??????1??，其中mi,k与mj,k位置互换。

(k)(k)(k?1)对A施行初等列变换，mkj?akj/akk,aij(n)?aij?mkjaik,(i,j?k?1,?,n)，进行n次

(k)(k)初等列变换后，令A10．

?L,mkj?Ukj即为所求。

(a) 若U为n阶可逆下三角矩阵，Ukk?0，则 当k?1时x1?d1/U11，而当

k?1k?2,3,?,n时，

xk?(dk??Uk,ixi)/Ukki?1，算法即从第一行开始顺序循环，同理可知若U?,n,时，为n阶可逆上三角矩阵，则当k?1时xn?dn/Unn，而当k?2,3kxn?1?k?(dn?1?k??Un?1?k,n?i?kxn?i?k)/Un?1?k,n?1?ki?2，算法即从最后一行开始逆序循环，(b)第k

次乘除法，。

步循环进行(c)

11．

U?1iik

j次乘除法，共进行n(n?1)/2?1?1/Uii,U?1ij???k?i?1?1UikUkj/Uii,i?n?1,n?2,?,1,j?i?1,i?2,?,n?TT?1T?T?1(a)AA?I?AA?A?A， 由此可知A?1也是对称矩阵，?1T?1?x,(Ax)A(Ax)?xAx?0，由此可知A?1也是对称正定矩阵，

i?1n?i2i,k(b)

Lnn?Ann,Lni?Ani/Lnn,Li,i?Ai,i??Lk?1,Li,j?(Ai,j??Li?k,iLi,i?k)/Li,ik?1，得出唯一正

对角元的下三角阵L使得A?LTL。

??4/85?33/85????19/85???3/8510/17?6/175/17?1/17?23/8541/85?3/854/85TA?112． 13． 14． 15．

?16/17??13/17??8/17??5/17?。

x?(5/6,2/3,1/2,1/3,1/6)。

x?(10/9,7/9,23/9)。

按高斯消去法，A无法进行第二次消去，换行后可以分解，BT第二次消去可乘任意

系数，分解不唯一，C可唯一分解。

?1?I13A?1/2??0?01?20??2??00???1???01?3/202??0?4??16． 17． 18．

，解得

y?(3,12,2),x?(T76,?11T,)32。

高斯消去法公式中去掉aij?0(i?j?t)即可推出该公式。

A??1.1,A1?0.8,A2?0.827853,AF?0.842615。

n19．

?(a)

nx??maxxi?1?i?n?i?1xi?x1?nmaxxi?nx1?i?n1?n,(b)

n2ijnA???i,j?1aij/n2nTi??(Ai?1A)/n??max(AA)?AT2???(Aii?1TA)??ai,j?1?A?。

P20．

xx?yP?Px?0,xP?0?Px?0?x?0P，

?xP??Px??Px??x，

P?P(x?y)?Px?Py?x1?yP，故xP是Rn上的向量范数。

1A21．

故

xA?(Ax,x)?0,x2A?0?xAx?0?x?0,?x1T?(?Ax,?x)2??1xA，A?LLTx?yA??Lx?122?2(Lx,Ly)?Ly1A2?2??Lx2??22?2Lx2Ly2?Ly?22?2?(Ax,x)2?(Ay,y)2?xn?yA，故xA是Rn上的向量范数。

np1/pi?11?i?n22． 23．

lim(?xi)p??i?1p1/p?maxxilim(?(xi/maxxi))1?i?np???maxxi?x1?i?n?。

?x?y充分性：若有x和

x?y2?(1?k)x?y2yT线性相关且xy?0， 即x?ky(k?0)，代入得

y2T?x2T?y2；唯一性：若有x?yyy?xT2222，由于

?xx?2xy?yy?TTxx?T?y2T，两边同时平方可得出xy?0，

消去共同项可得xy?xxyyTT，当且仅当x和y线性相关时等号成立。

24． 2以上图像分别为x1?1，xA'?maxAy'y'y'?0?1，x??1。

PAPxx?1?maxPAyPy25．

Py?0?maxx?0?PAP?1。

26． 由向量范数的相容性可知存在常数a1,a2?0，使得a1xs?xt?a2xs，于是令

c1?a1/a2>0，c2?a2/a1>0，则对任意A?Rn?n，均有不等式

a1Axa2xTc1As?maxxsss?0?maxx?0tAxxtt?ATt?maxxsa2Axa1xss?0?c2As。

TTT27．

若???(AA)，则?x?0,AAx??x,就有AA(Ax)??Ax，可推出???(AA)即

TTTTT?(AA)??(AA)，同理可以推出?(AA)??(AA)，综合这两点即可得?(AA)??(AA)。

1?1/maxx?Axx??1?28． 29．

A?1??1?0?minA?1x?1?x??0Ax?miny?Ayy???0?。

?A?A?A?1?A?1，则

(I?A??1A)?1?1?/1A?1A?1，故(A??A)存在，

A?1?(A??A)A?1?1?A(I?A?A)A?1?1?1?1A?A?1?A?A1?A?A?1?1cond(A)??AA1?cond(A)?AA。

30．

cond(A)??A?A?1?A?3?6?，当??2/3时，，当??2/3时，con(d)?con(d)A?4??2?/，当???2/3时，cond(A)?有最小值7。

cond(A)2??max/?min?(?max(WW)/?min(WW))?cond(W)2TT2231． (a)

(b)

T，，

?(WW)??(WW)TT,

cond(W)2?T?max(WW)/?min(WW)?cond(W)2TTcond(A)2?cond(W)2cond(W)2。

32． 33． 34．

cond(A)2??max/?min?39206.0，cond(A)??Acond(A)2??A?1??39601。

?max(AA)?max(AA)?BA?1?1TT?maxIA?1?maxI?1。

。

cond(AB)?AB?ABB?1?cond(A)cond(B)第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案

1. (a) Jacobi迭代矩阵

?0??1B?D(L?U)???0.25?0.2?0.40?0.30.2??0.5?0??

特征方程为

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵

|?I?B|???0.21??0.055?0

3?0??1G?(D?L)U??0?0?0.40.40.040.2??0.7?0.17??

特征方程为

特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为

X(k?1)?1T其中B如上，f1?Db?(?1.250.3)， 迭代18次得

|?I?G|???0.57??0.096??0

32?BX(k)?f1

X???3.99999642.99997391.9999999?T，

?GX(k)TGauss-Seidel迭代格式为

X(k?1)?f2

其中G如上，

迭代8次得

X???4.000036f2?(D?L)b?(?2.4?12.61.53)，

2.9999852.000003?T。

2. 证：

?0A???2?0??0??，