则

A2?0, k故A?0(k?2,3,4,?)，

?12kI?A?A???A???I?A???2?因此0??1??，

即级数收敛。 3. 证： 设||A||?a，

limAn一方面，

n??n!A?0，

nlim另一方面，

limAnn??n??n!?lim||A||n!nn???lim||A||n!nn???limann??n!?0

n!因此，即序列收敛于零。

4. 证：由已知迭代公式得迭代矩阵

??0G???a21???a22|?I?G|???2?0?a12??a11??0??

a12a21a11a22?0则特征多项式为

???a12a21a11a22，

解得 向量序列?x(k)?收敛的充要条件是 ?r??1，即

a12a21a11a22?1。

5. (a) 谱半径?(B)?1.093?1，Jacobi迭代法不收敛； 矩阵A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) 谱半径?(B)?0?1，Jacobi迭代法收敛； 谱半径?(B)?2?1，Gauss-Seidel迭代法不收敛； 6. 证：必要性 k??对任意向量x，有

limAk?A，则

limAk?A?0k??，

limAkx?Ax?lim(Ak?A)x?limAk?Ax?0k??k??k??

因而有

limAkx?Ax?0k??，即k??limAkx?Ax。

，令xi?ei，则

充分性 因对任何向量x，都有k??limAkx?Axk??

即当k??时，Ak的任一列向量的极限为A的对应的列向量，因而有 。

7. A对称正定，Jacobi迭代法不一定收敛，如题5(a)。

k??limAkei?AeilimAk?A8. (a) Jacobi迭代矩阵的谱半径

?(B)?12；

(b) Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径?(B)?0.25；

(c) 两种方法的谱半径均小于1，所以两种方法均收敛。

事实上，对于方程组Ax?b，矩阵A为严格对角占优则Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均

收敛。 9. 取X(0)?0，迭代公式为

??(k?1)(k)(k)(k)X?X?(1?4X?X)1112?4???(k?1)(k)(k?1)(k)(k)X?X?(4?X1?4X2?X3)?224???(k?1)(k)(k?1)(k)X?X?(?3?X?4X)3323?4?

?使当时迭代终止，

取??1.03时，迭代5次达到

X??X(k)?5?10?6X(5)??0.50000431.0000001?0.4999999?T； ?T； ?T。

取??1时，迭代6次达到

X(6)??0.50000381.0000002?0.4999995取??1.1时，迭代6次达到

X(6)??0.50000350.9999989?0.500000310. 迭代公式为

??(k?1)(k)(k)(k)(k)X?X?(?12?5X?2X?X)11123?5???(k?1)(k)(k?1)(k)(k)X?X?(20?X1?4X2?2X3)?224???(k?1)(k)(k?1)(k?1)(k)X?X?(3?2X?3X?10X)33123?10?

取XX(8)(0)?0，??0.9，迭代8次达到精度要求

2.00003???4.000272.99989?T。

11. 证：所给迭代公式的迭代矩阵为B?I??A，

其n个特征值分别为1???1,1???2,?1???n,(0??i??,i?1,?,n)， 当

0???2?时，有?1?1???i?1,(i?1,2,?,n)，

(k?1)因而?(B)?1，迭代法收敛。 12. 证：(a)

X(k?1)i?X(k)i?ria?ii即为Gauss-Seidel迭代格式。

(k?1)ii (b) 由

X(k?1)i?X(k)iria及Xi?(k)??i(k)?X?，可得 ；

nij(k?1)i??n(k)i??jri(k?1)aiii?1niji?1ij其中，

i?1ri(k?1)?bi?(k?1)j?aj?1nx(k?1)j??aj?i(k)jijx(k)j??aj?1x??aj?1nx(k?1)j??aj?iijxj(k)

i?1ij??aj?1ij(x?x?j)??aj?i(x?x?j)??(?aij?j?1(k?1)j??aj?iij?(k)j)。

(c) (d)

13. (a) 由已知，有z1(m?1)?ABz2?1(m)?Ab1，及z2?1(m?1)??ABz1?1(m)?Ab2，

?1则 即由z1(m?1)z1(m?1)?(AB)z1?12(m?1)?ABA2?1?1b2?Ab1，

(m)?1到z1(m?1)的迭代矩阵为(Az1(m?1)?1?1B)，所以由z1?ABA?1?1到z1?1(m?1)的迭代矩阵为A?1B，

?1则迭代方法收敛的充要条件为?(AB)?1。 (b) 由已知可推得

?(AB)z1?122(m)?1b2?Ab1，所以迭代矩阵为(AB)2，则迭

代方法收敛的充要条件为?[(AB)]?1。

由迭代矩阵可以看出，(b)迭代法的收敛速度是(a)的2倍。 14. 证：由于1?0，当

?121?a?1a1时，a?1?a2?0,

112|A|?(1?2a)(1?a)?0，所以

A正定。

??a?Jacobi迭代矩阵谱半径为?(B)?2|a|，所以只对215. 取排列阵P?I23，则

?5??3TPAP??0??0?22001?123收敛。

A为可约矩阵。

16. 证： 迭代矩阵的特征方程为|?i(C)I?C|?0，

3???1?4??7??

n若?i(C)?0,(i?1,2,?,n)，则|C|?0，所以C?0，即对任给向量X(0)，迭代n次后，

X(n)?CXn(0)?f?fn?1，其中f?Cg???cg?g，则

X(n?1)?Cg?Cnn?1g???cg?g?f

即最多迭代n次收敛于方程组的解f。

17. 用SOR方法解方程组AX?b，其中A对称正定，数组x用来存放解向量，用

|p0|?max|xi1?i?n(k?1)?xi(k)|??控制迭代终止，k表示迭代次数。

k=0, i=1 xi?0(i?1,?,n) k?k?1,p0?0 否 i<=n 是 i?1nijp??(bi??aj?1xj??aj?iijxj)/aii;xi?xi?p;i?i?1; |P|>|P0| P0=P; 是 |P0|>ε 否 输出x, k; 18. 证：方

?1程组的SOR迭代矩阵为L??(D??L)((1??)D??U)，

?1特征方程|(D??L)||(??1??)D???L??U|?0，

即|(??1??)D???L??U|?0， 记G?(??1??)D???L??U

?a12?a13??a1n?(??1??)a11???a21(??1??)a22?a23??a2n?????????an1??an2?an3?(??1??)ann?只要当|?|?1时，|G|?0，则|G|?0的根均满足|?|?1。

i?1n???????

A不可约则G也不可约，又A为弱对角优势阵，则当|?|?1且0???1时，

|gii|?(??1??)|aii|?(??1??)(?|aij|?j?1i?1nij?|aj?i?1ij|)

?

即|?|?1时，G为不可约弱对角占优，于是有|G|?0，故?(G)?1，SOR方法收敛。

j?1j?i?1j?i??|a|????|aij|??|gii|19. 证：(a)

TT(AA)TTTTn?AA，?x?R,x?0,设Ax?(a1,?,an)22T，则

x(AA)x?(Ax)(Ax)?a1???an?0，ATA为对称正定阵。

(b) 因为ATA为对称阵，所以

左

?cond(AA)2?T?max(AA)?min(AA)

T2T?(cond(A)2)?(A22A?1右

20. 证：A为严格对角占优，则A?1存在。

A?1??2)??2???max(AA)???T?min(AA)??T左。

A?max?1x??x

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算习题参考答案

1．(a)取初始值(1,1,1)得 k ukT 0.750000 0.617564 0.606413 0.605660 0.605583 0.000000 -0.371105 -0.393095 -0.394145 -0.394377 max(vk) 1 1.000000 3 1.000000 5 1.000000 7 1.000000 8 1.000000 (b)取初始值(1,1,1)得 k ukT8.000000 9.540540 9.604074 9.603921 9.605270 max(vk) 0.714286 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.249743 0.159119 0.151490 0.151176 n 1 5 9 13 14 0.285714 -0.489303 -0.594720 -0.603581 -0.603946 7.000000 8.561447 8.856237 8.867829 8.868794 2．????(T),?x?0，使得(T??I)x?0，即

nT??I?n?i?1iiTii??I?0，一定存在i使得

nTii??I?0，则???(Tii)，

?1?(T)???(Ti?1ii)，反之i?1??(T)??(T)?(T)?，故

??(Ti?1ii)。

(A?6I)3．

?14/27??11/27??5/27?11/27?2/27?1/275/27???1/27??4/27??，由幂法得?max(A?6I)?1?0.750741，原矩阵最接

T?A?7.33202xmax近6的特征值为，对应的特征向量为?(1,0.485551,0.185986)。

4．设特征向量为x?(a,b,c)，则有4a?4a,3b?c?4b,b?3c?4c，解得对应的特征向量为

x1?(1,0,0),x2?(0,1,1)TTT。