3.1. 有一质量为m的珠子, 沿一根置于水平面内的铁丝滑动, 采用自然坐标法描述. 珠

???????FeF?Fe?Fe?FeW?mgNttNnnNbb.Ntt即为滑动子受重力, 铁丝施与的约束力N摩擦力

?Ff, 设动摩擦因数为?. 试判断下列各式正误: (1)

Ff??mg； (2)

Ff??FNb

（3）

Ff??FNn；(4)

22Ff??FNn?FNb

3.2. 用极坐标系描述单摆的运动. 某甲如思考题3.2图(a)规定?角正向, 得到动力学方

??程ml???mgsin?； 某乙如思考题3.2图(b)规定????mgsin?ml?. 你认为谁的做法正确?

?角正向, 则得到

(a) (b)

思考题3.2图

3.3. 质量为m的质点, 由静止开始自高处自由落下. 设空气阻力

?Ff与速度成正比, 比例

???mg?ky?. y系数为k. 某甲建立竖直向上的坐标如思考题3.3图(a), 得到方程为m???mg?ky?.他们列出的y某乙建立竖直向下的坐标如思考题3.3图(b), 得到方程为m?方程对吗?

(a) (b)

思考题3.3

3.4. 有人认为: 用极坐标系讨论质点的平面运动时, 如果Fr?0, 则沿径向动量守恒,

??常量；若F??0, 则沿横向动量守恒. 这种看法对吗? pr?mr3.5. 试判断以下二论断是否正确:

(1) 若质点对固定点O的角动量守恒, 则对过O点的任意固定轴的角动量守恒.

(2) 若质点对固定轴的角动量守恒, 则对该轴上任一固定点的角动量守恒.

3.6. 一质点动量守恒, 它对空间任一固定点的角动量是否守恒? 如质点对空间某一固定点

角动量守恒, 该质点动量是否守恒?

3.7. 当质点做匀速直线运动时, 其动量是否守恒? 角动量是否守恒? 3.8. 在固定的直角坐标系Oxyz中, 质量为m的质点的速度

力为

????v?vxi?vyj?vzk, 所受合

????F?Fxi?Fyj?Fzk??1d(mv2)?F?dr. 能否将质点的动能定理2向x轴方向投

12d(mvx)?Fxdx2影而得出分量方程? 该方程是否正确?

第三章习题

3.1. 研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动. 已知电场强度

????r?xiv?vi0, 00. 忽略重力及阻力, 求电子的运动学方程. t?0时0?v3.2. 以很大的初速度0自地球表面竖直上抛一质点, 设地球无自转并忽略空气阻力, 求

?g质点能达到的最大高度. 已知地球半径为R, 地球表面处重力加速度为.

??E?E0co?st(??)i,E0,?,?为常量. 电子电量为?e, 质量为m. 初始时, 即当

22F?mkgvmR3.3. 将质量为的质点竖直上抛, 设空气阻力与速度平方成正比, 其大小.

2v?v01?k2v0v0如上抛初速度为, 试证该质点落回抛出点时的速率.

????EEB3.4. 向电场强度为、磁感应强度为的均匀稳定电磁场中入射一电子. 已知?B, 电

???v0EB子初速与和均垂直, 如题3.4图所示. 试求电子的运动规律. 设电子电量为

?e.

题3.4图

3.5. 旋轮线如题3.5图所示, 可理解为一半径为a的圆轮在直线上做无滑滚动时轮缘上一

点P的轨迹, 其参数方程为x?a(??sin?), y?a(1?cos?). 在重力场中, 设y轴竖直向上, 一质点沿光滑旋轮线滑动, 试证质点运动具有等时性(绕O点运动周期与振幅无关).

题3.5图

3.6. 一小球质量为m, 系在不可伸长的轻绳之一端, 可在光滑水平桌面上滑动. 绳的另

一端穿过桌面上的小孔, 握在一个人的手中使它向下做匀速运动, 速率为a, 如题3.6图所示. 设初始时绳是拉直的, 小球与小孔的距离为R, 其初速度在垂直绳方向

上的投影为

v0. 试求小球的运动规律及绳的张力.

题3.6图

3.7. 一质量为m的珠子串在一半径为R的铁丝做成的圆环上, 圆环水平放置. 设珠子的

初始速率为0, 珠子与圆环间动摩擦因数为?, 求珠子经过多少弧长后停止运动 (根据牛顿第二定律求解).

3.8. 质量为m的小球沿光滑的、半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下, 此椭圆弧在竖直

平面内且短轴沿竖直方向. 设小球自长轴端点开始运动时其初速度为零. 求小球达到椭圆弧最低点时对椭圆弧的压力 (根据牛顿第二定律求解).

v??3.9. 力F1和F2分别作用在长方体的顶角A和B上, 长方体的尺寸和坐标系如题3.9图所

??FF示. 试计算1和2对原点O及3个坐标轴的力矩.

题3.9图

3.10. 已知质量为

m0的质点做螺旋运动, 其运动学方程为x?r0cos?t, y?r0sin?t,

z?kt,r0,?,k为常量. 试求: (1)t时刻质点对坐标原点的角动量；(2) t时刻质点对

过P(a,b,c)点, 方向余弦为(l,m,n)的轴的角动量.

3.11. 如题3.11图所示, 质量为m的小球安装在长为l的细轻杆的A端, 杆的B端与轴

O1O2垂直地固连. 小球在液体中可绕O1O2轴做定轴转动, 轴承O1和O2是光滑的.

?转动中小球所受液体阻力与角速度成正比, FR??m?,?为常量. 设初始角速度为?0, 试求经多少时间后, 角速度减小为初始值的一半,以及在这段时间内小球所转圈

数.(忽略杆的质量及所受阻力.)

题3.11图

3.12. 质量为m的质点沿椭圆轨道运动, 其运动学方程为x?acoskt, y?bsinkt

(a,b,k为常量). 用两种方法计算质点所受合力在t?0到t??4k时间内所做的功.

3.13. 试用动能定理求解3.7题.

3.14. 有一小球质量为m, 沿如题3.14图所示的光滑的水平的对数螺旋线轨道滑动. 螺旋

??a?vr?re0线轨道方程为, a为常数. 已知当极角??0时,小球初速为0. 求轨道对

???eF??vN小球的水平约束力的大小. (用角动量及动能定理求解, 图中为与方向间夹

角,tg??a.)

?F?a11x?a12y?a13z,Fy?a21x?a22y?a23z,

3.15. 已知质点所受力F的3个分量为xFz?a31x?a32y?a33z,系数aij(i,j?1,2,3)都是常量. 这些aij满足什么条件时与?F力相关的势能存在? 在这些条件被满足的条件下, 计算其势能.

3.16. 一带有电荷q的质点在电偶极子的场中所受的力为

3Fr?2pqcos?r3,F??pqsin?r,p为偶极距, r为质点到偶极子中心的距离.

题3.14图

试证此力场为有势场.

3.17. 如题3.17图所示, 自由质点在Oxy平面内运动, 静止中心A和B均以与距离成正

比的力吸引质点M, 比例系数为k. 试证明势能存在并求出质点的势能.

题3.17图

3.18. 试用机械能守恒定律求解3.8题.

3.19. 设空气阻力与速率的n次方成正比, 求有阻力抛体运动微分方程数值解, 并描绘其

运动情况.

3.20. 求带电粒子在均匀稳定电磁场中运动微分方程数值解, 并描绘其运动情况. 3.21. 求大摆角单摆运动微分方程数值解, 并研究周期与摆角的关系.

第四章思考题

4.1. 线性振动与非线性振动有什么根本区别? 4.2. 基频与固有频率有何不同?

4.3. 用小参量级数展开方法求解非线性振动问题时, 什么情况下会出现长期项? 应如何处

理长期项?

4.4. 如何理解吸引子的概念? 你知道有哪些类型的吸引子? 4.5. 如何理解混沌运动? 如何判断混沌运动?

第四章习题

4.1. 试用微扰法求方程

2????0xx??x2?0

?(0)?0. 准确到第二级的解. 设初始条件为t?0时, x(0)?A, x?F0的作用, 当x?0时受到恒

4.2. 做一维运动的质点的质量为m, 当x?0时受到恒力

0的作用. 画出描述此运动的相图, 计算运动的周期(以m,0和总能量E表力

示)和振幅A. 不考虑阻尼.

4.3. 在非线性动力学发展过程中有三大著名的方程起了重大作用, 除了已介绍过的

Duffing方程和Van.der.pol方程外, 还有洛伦茨(Lorenz)方程, 它是由E. N. Lorenz在研究大气对流问题中引进的, 他在对此方程进行数值计算研究中首次发现混沌现象. 经过许多简化后得到的Lorenz方程是一个三阶的无量纲的常微分方程组:

?F?F试用计算机数值计算方法作出它的相图(通常称为Lorenz吸引子). 4.4. 试用近似计算方法证明教材中第四章方程(4.5.1)(即范·德·波尔方程)具有精确到一

级的稳态周期解(其中取

?dx?dt??10x?10y??dy??28x?y?xz?dt?dz??8z?xy ?3?dt

x0?1)

x?2cos?t?并证明

?(3sin?t?sin3?t)4? ???0

其周期为T?2??近于常数,与初始条件无关.

第五章思考题

5.1. 有人说“牵连运动就是动坐标系的运动”, 这种说法是否正确? 为什么?

???dvdtv5.2. 某习题要求求出. 于是有人提出疑问: “?是质点相对s?系的速度, 它的存在

?????sssvvv依赖于系. 质点相对系的速度是而不是. 为什么可以对系求?的时间变率

呢?”你能解决他的疑虑吗?

5.3. 有一光滑水平圆盘, 在其上离中心O点距离为a处放一光滑小球, 初始时盘与小球

均静止. 当圆盘绕过O点的竖直轴做均匀转动后, 有人认为“小球并未被盘带着运动,

所以它的牵连速度与牵连加速度均为零”. 他的看法正确吗?

以O为原点建立平动Oxyz为s?系, 如思考题5.4图所示. 则轮边上一点P的绝对加

?a5.4. 一竖直圆盘沿水平直线轨道做无滑滚动, 其盘心O点的加速度为0. 以地面为s系,

?????????r????(??r?). 试问 a?a??0速度为

???(1)是绝对变率还是相对变率?

(2) 等式右方三项各是什么加速度?