第二章 任意波形发生器的理论分析

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该序列的显著特性是线性，即相邻样值之间的相位增量是一常数，且仅与信号频率f有关，当式(2-10)中的n取1时得到量化相位增量为：

???2?f?Tc 式(2-11)

倘若我们将2?相位均匀量化M等份，人为构造一个相位值??'：

2???'?K 式(2-12)

M并且使得??'???，那么就可以得到如下关系：

Kf?f?Tc? 式(2-13) Mfc根据以上原理，如果我们用变量K构造一个量化序列：

?(n)?nK 式(2-14)

然后完成?(n)到另一个序列S'(n)的映射，即由?(n)构造序列：

2??2??S'(n)?sin??(n)??sin(nK) 式(2-15)

M?M?将式(2-13)代入式(2-15)可得：

S'(n)?sin(2?fTc?n) 式(2-16)

对比式(2-9)跟式(2-16)，我们不难发现，S'(n)其实就是信号S(t)经过采样频率fc抽样后的离散时间序列。在满足奈圭斯特采样定律的的条件下，即：

Kf1?? 式(2-17) Mfc2S'(n)可以经过D/A转换和低通平滑滤波唯一地恢复出S(t)。

可见，通过上述变换，变量K将唯一地确定一个单频模拟正弦信号S(t)：

K S(t)?sin?(2cft ) 式(2-18)

M该信号的频率为：

fo?Kfc 式(2-19) M式(2-19)就是DDS的基本方程，是利用DDS进行频率合成的立足点。在实际的DDS应用中，一般取M?2N，N为正整数，于是DDS的基本方程可写成：

Kfo?Nfc00000K?1,2,...,2N?1 式(2-20)

2由式(2-20)可以看出，当K?1时，DDS系统输出信号频率fo最小，而这个最小频率同时也是DDS系统的频率分辨率:

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基于FPGA的任意波形发生器的设计与实现

fomin??fo?fc 式(2-21) N2对于DDS系统从波形存储器中读数据的过程，我们可以将其看作是对波形存储器中的波形数据再次采样的过程，也就是说，DDS系统查表的过程就是从波形存储器中二次采样过程，一个周期内查表的点数即为采样的点数。DDS系统要恢复出原始波形，其在一个周期内至少要取样两点，这是受我们一直都在强调的奈圭斯特采样定理的限制。那么DDS系统在理论上能输出的最大频率是：

ffomax?c 式(2-22)

2经过以上的分析，我们得出以下几点结论：

（1）DDS系统的输出频率fo只与频率控制字K、系统时钟频率fc、相位累加器位数N有关。在系统时钟频率fc和相位累加器位数固定时，通过改变频率控制字K的值，就可以方便地改变输出信号的频率。

（2）DDS系统的频率分辨率只与系统的系统时钟频率fc和相位累加器位数N有关。想要提高系统的分辨率，可以增加相位累加器位数或者是降低系统时钟频率。

（3）DDS理论上最大输出频率不会超过系统时钟频率fc的二分之一，但在实际应用中，由于DDS系统中的低通滤波器非理想特性，由通带到阻带之间存在着一个过渡带，工程中DDS最高输出频率只取到40ü左右。

2.2.3 DDS技术特点

DDS这一新技术特点鲜明，优点很突出，缺点也很明显。

DDS系统的优点有很多，它的很多特性是其他频率合成技术所没有的，其中最主要的特性有以下三点：

（1）DDS技术可以用于产生任意波形

基于前面对DDS系统的基本结构分析，很容易理解，只要改变存储在波形存储器中的波形数据，就可以改变输出波形。所以对于任何周期性波形，只要满足采样定理，都可以利用DDS技术来实现。

（2）DDS系统具有很高的频率分辨率

DDS系统输出频率的分辨率和频点数随相位累加器的位数成指数增长，由

式(2-21)可知，在系统时钟频率不变的情况下，只要增大相位累加器的位数N，

就可以得到几乎是任意小的频率分辨率，可以满足精细频率控制的要求。DDS如此精细的频率分辨率，使其输出频率已十分逼近连续变化。

（3）输出频率切换速度快且相位保持连续

第二章 任意波形发生器的理论分析

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与锁相频率合成相比，由于DDS系统是一个开环系统，所以当一个新的频率控制字送到时，它会迅速合成这个新的频率，实际的频率切换时间可以达ns级。同时，频率切换时，DDS系统的输出波形的相位是连续的。DDS系统的频率字改变时，输出波形的变化过程可以用图2.12描述。

P相位累加器输出值变化示意曲线输出波形变化曲线

图2.12 频率控制字改变时累加器的输出值和输出波形的变化（仿真）

在波形输出到P点时，频率字发生了改变（变小），相位累加器的累加值即相位步进变小，其输出值斜率也变小，系统的输出波形的频率也在同时刻变小。DDS系统在频率字发生改变后的一个时钟周期，其输出频率就可以就转换到了新的频率上，也即在频率字的值改变以后，累加器在经过一个时钟周期后就按照新的频率字进行累加，开始合成新的频率。所以我们可以认为DDS的频率切换是在一个系统时钟周期内完成的，系统时钟频率越高，切换速度越快。

另外，从前面对DDS技术原理的分析可知，要改变输出频率，实际上改变的是频率字，也就是相位增量。当频率字的值从K1改变为K2之后，相位累加器是在已有的累积相位上，再对K2进行累加，相位函数曲线是连续的。从图2.12也可以看出，只是在频率字改变的瞬间相位函数曲线的斜率发生了突变，相位值并没有发生跳跃，因此DDS能够在频率切换的过程中保持相位连续，输出波形能够平滑地从一个频率过渡到另外一个频率。

由于DDS采用数字化技术，最终合成信号是经过D/A转换得到的，所以不可避免的存在着以下缺点：

（1）DDS在工程中的最高输出频率一般只能达到系统时钟频率的40%，要想获得较高的频率，就必须提高系统时钟频率，也就是说DDS的相位累加器、波形存储器和D/A转换器都将工作在较高的时钟频率下，它的实现依赖于高速数字电路和高速D/A转换器。这也是DDS系统在早期没有受到重视，而直到最近几年才迅速发展的原因。

（2）DDS系统采用数字合成技术，先离散信号再变换成模拟信号输出，这其中导致了各种误差，尤其是相位截断误差，因此各种杂波是不可避免的。

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基于FPGA的任意波形发生器的设计与实现

为了具有较高的输出频率，DDS系统的参考时钟频率一般都比较高，根据 式(2-21)，在较高的时钟频率下，要想获得较高的频率分辨率，只有通过增加相位累加器的位数N，故一般N的取值都较大。如果相位累加器的所有输出都用来作为波形存储器的寻址地址，那么存储器的容量会大得惊人。例如，如果32位累加器的所有位都用来作为存储器的地址，那么需要4G个存储单元，而如果换成48位的累加器，那么就需要256T（1T=1024G）个存储单元，这样的设计显然是没有办法接受的。因此存储器的地址线位数A一般都小于N。这样存储器的地址线就只能接到相位累加器的输出的高A位上，而低N?A位则要舍弃，也就产生了相位截断误差，表现在输出频谱上就是杂散分量。

2.3 DDS输出特性

作为一种全数字器件，杂散多是其固有特性，这一长期以来限制DDS应用的主要因素。为了获得低杂散输出信号，对DDS输出特性的分析显得尤为必要。要研究DDS的输出特性，从研究其频谱特性[8]着手是一种比较好的方法。我们首先来分析一下理想情况下DDS输出的频谱特性。

2.3.1 理想情况下DDS的频谱特性

所谓理想情况就是不考虑相位截断误差和幅度量化误差，同时假定D/A转换器和低通滤波器是完全理想的，即DDS必须满足下面三个条件：

（1）相位累加器的全部输出用来作为波形存储器地址码；

（2）波形存储器的幅度没有量化误差，即波形存储器所存储的信号幅度值用无限长二进制代码来表示；

（3）DAC的分辨率无穷大，并且DAC具有理想的数模转换特性。 我们假设相位累加器输出的相位序列为?(n)，则?(n)为一周期序列，其周期为：

2Nmk? 式(2-23) NGCD(2,K)其中符号GCD(a,b)表示求a和b的最大公约数。

同时我们还假设相位序列寻址波形存储器得到的幅度序列为S(n)，则其周期也为mk，我们拿重建余弦信号来分析，S(n)可表示为：

2?S(n)?cos(NK?n) 式(2-24)

2幅度序列S(n)经过D/A转换后变成余弦波阶梯波，用S(t)来表示该阶梯波，

第二章 任意波形发生器的理论分析

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则S(t)的周期为T?mk?Tc，其中1/Tc为DDS系统的参考时钟频率。

我们知道，任何周期信号都可以展开为傅立叶级数，设S(t)的傅立叶展开式为：

S(t)?m????C?m?ejm?t 式(2-25)

其中??2?T?2?mk?Tc。

由于S(t)在一个周期内可以表示为：

S(t)?mk?1n?0?cos(2?K?n)??(nTc) 式(2-26) 2N其中?(nTC)?u(t?nTc)?u?t?(n?1)Tc?，u(t)为单位阶跃函数。

所以有

Cm?1T?jm?tS(t)?edt ?0T(n?1)Tc1mk?1?2?????cos(NK?n)??e?jm?tdt? 式(2-27)

nTcTn?0?2?其中

?(n?1)TcTce?jm?t?Tc2?jm?nTc?jmmdt?e?e2?sin(?Tc) 式(2-28)

m?22?2?2?1?j2NKn?j2NKn?cos(NK?n)??e?e 式(2-29) ???22?? 将式(2?28)及式(2?29)代入式(2?26)，并利用下面的等式：

mk?1n?0?ej2?nqmk?mk000000q?i?mk,i?0,?1,?2,...??? 式(2-30) ?00000000其余q? 可得

??1?jmmm?ek?sinc()0000m?i?mk?pk,i?0,?1,?2,... 式(2-31) Cm??2mk??000000000000000000其余m其中pk?Ksin(?x)m,sinc(x)?。 k2N?x 从式(2-25)可以得知S(t)展成傅立叶级数后，第m根谱线的频率值为：