Leslie人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。 模型假设 (1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。假设女性最大年龄为S岁，将其等间隔划分成m个年龄段，不妨假设S为m的整数倍，每隔S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化; (2) 记ni(t)为第i个年龄组t次观察的女性总人数，记 n(t)?[n1(t),n2(t),?,nm(t)] 第i年龄组女性生育率为bi（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为di，记si?1?di,假设bi,di不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响; (4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。 建立模型与求解 根据以上假设，可得到方程 t n1(t?1)=?bini(t) i?1mni?1(t?1)?sini(t) i?1,2.…,m-1 t?1写成矩阵形式为 n(t?1)?Ln(t) ?b1b2?bm?1bm???00??s10?0? （1） 其中，L=?0s20?????????????0?0sm?10?记
n(0)?[n1(0),n2(0),?,nm(0)] （2）
假设n（0）和矩阵L已经由统计资料给出，则
n(t)?Ltn(0),t?0,1,2, 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) si> 0，i=1，2，…，m-1;
(ii) bi?0，i=1，2，…，m，且bi不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的： 定理1 L矩阵有唯一的单重的正的特征根???0，且对应的一个特征向量为 m?1 n*=[1，s1/?0，s1s2/?2] （3） 0，…，s1s2 …sm-1/?0T定理2 若?1是矩阵L的任意一个特征根，则必有?1??0。 定理3 若L第一行中至少有两个顺次的bi,bi?1?0，则 （i）若?1是矩阵L 的任意一个特征根，则必有?1??0。 （ii）limn(t)/?t0=cn*， （4）
t????其中c是与n（0）有关的常数。 定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t充分大时，有 n(t)?c?t0n* (5) 定理4 记?i?bis1s2分必要条件为 si?1，q（?）=?1/?+?2/?2+…+?m/?m，则?是L的非零特征根的充q（?）=1 （6）
所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按?－1的比例增长。由（5）式可得到如下结论： (i) 当?>1时，人口数最终是递增的； (ii) 当?<1时，人口数最终是递减的； (iii) 当?=1时，人口数是稳定的。 根据（6）式，如果?=1，则有
b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1=1
记
R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + bms1 s2…sm-1 （7）
R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1时，人口递增；
当R<1时，人口递减。
Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。 公园大象管理
南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考： 1几乎不再迁入或迁出大象；
2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例； 3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35% 4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；
5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；
6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；
7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；
8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；
公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；
你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：
1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；