习 题 一

1．下列随机试验各包含几个基本事件？

（1）将有记号a,b的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个

1一个地放入盒中；a球可放入的任一个，其放法有 C3?3 种，b球也可放入三个盒子的111任一个，其放法有C3?C3?9种。 ?3 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为C3（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子

111发芽共有C2?C2?C2?8种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，

2所以此试验的基本事件个数 n?C5?10。

（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，?n?101。 （5）将a,b,c三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一

1个一个放入盒子内（按要求）。a球可放入三个盒子中的任一个有C3?3种方法。b球因

为试验要求每只盒子只装一个球，所以a球放入的盒子不能再放入b球，b球只能放入其余（无a球 的盒子）两个中任一个，其放法有C2?2个。c只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为

11C3?C2?1?6种。

12． 事件A表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B表示“五件产品都是合格品”，则AB,AB各表示什么事件？A、B之间有什么关系？

解： 设Ak?“五件中有k件是不合格品” B?“五件都是合格品”。此随机试验E的样本空间可以写成：S??A11,A2,A3,A4,A5,B? 而 A?AA2A3A4A5

?AB?S,AB??，A与B是互为对立事件。

3. 随机抽验三件产品，设A表示“三件中至少有一件是废品”，设B表示“三件中至少

1

有两件是废品”，C表示“三件都是正品”，问 A,B,C,AB,AC各表示什么事件？

解： A?“三件都是正品”，B?“三件中至多有一件废品”，

C?“三件中至少有一件废品”， AB?A,AC??.

4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A1表示“第一次射击击中飞机”，A2表示“第二次射击击中飞机”，试用A1,A2及它们的对立事件表示下列各事件:

B?“两弹都击中飞机”； C?“两弹都没击中飞机” D?“恰有一弹击中飞机”； E?“至少有一弹击中飞机”。并指出B,C,D,E中哪些是互不相容，哪些是对立的。

解： B?A1A2,C?A1A2,D?A1A2A1A2,E?A1A2，B与C , B与D ,

D与C , C与E 是互不相容的，C与E是相互对立的.

5． 在某班任选一名学生。记A?“选出的是男生”;B?“选出的是运动员”;

C?“选出的是北方人”。问：（1） ABC,ABC各表示什么事件？

（2）C?B,AB?C 各表示什么意义。（3）在什么条件下，ABC?A.

解： （1）ABC=“选出的是南方的不是运动员的男生”。 （2） C?B表示该班选出北方的学生一定是运动员。

AB?C 表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 A?BC 时 ABC?A.

6、设 A1,A2,A3,A4是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件： （1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；

（3） 这四个事件至少有一个发生； （4）A1,A2 都发生，而A3,A4都不发生； （5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。 解：（1）A1A2A3A4; （2）A1A2A3A4; （3）A1（4）A1A2A3A4; （5）A2A3A4(6) A1A2A3A4A2A3A4;

A1A3A4A1A2A4A1A2A3;

A1A2A3A4A1A2A3A42

A1A2A3A4.

7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。

4解： 从52张牌中任取4张共有情况C52种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验4的样本空间中基本事件的个数n?C52。设事件 A?“任取的4张花色都不相同”，

A中包含的基本事件个数K可以用乘法原理求， 事件A完成要从四种花色中各取一张，

k134故 k?13, P(A)??4?0.1055.

nC5248． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。

解：设事件A?“至少有1人生日在10月” A?“4个人生日都不在10月”

?11?P(A)?1?P(A)?1????1?0.7?0.3.

?12?9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。

解：此随机试验E为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为P10,即其基本事件共有n?P10个, 设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k求法如下：首先事件A表示第三

1次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有C4种放法；

433前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有P92种。由乘法原理可知

k?CP1249

12P9kC42. ?P(A)???3n5P1010． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。 解：设事件 A?“至少出现一次正面” ， A?“全不出现正面”

若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E的基本事件个数

n?210，A所包含的基本事件个数 k?1.

则P(A)?1?P(A)?1?k1?1?10?0.999. n23

11． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。

5解：从盒中10只球任取5只的取法共有C10种，即为此随机试验的基本事件的个数， 5. 设事件A?“正好取得3只新球2只旧球” ?n?C103事件A所包含的基本事件的个数k的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有C6种；232再从4只旧球中任取2只，其取法有C4种。由乘法原理得 k?C6C4, 32C410kC6 ?P(A)????0.476. 5n21C1012.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记A? “甲取得正品”；B?“乙取得正品”。求P(A),P(B/A),P(B/A).

63? 105解：求P(A)的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件A是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。?P(A)?求 P(B/A)问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率， 样本空间?1是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问

1题。此时基本事件个数 m?C9?9,在此?1中正品是5件，事件B包含的基本事件个数

5，求P(B/A)的问题可用上面两种方法，所不同的是 A?“甲962取得一件是次品”， P(B/A)??.

93k1?5. ?P(B/A)?13． 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：

（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。

解：设事件 A?“甲市为雨天”; 事件 B?“乙市为雨天”。则

P(B)?0.18P(AB)?0.12 所求的问题： P(A)?0.20（1）P(A/B)?P(AB)0.122P(AB)0.123???0.67;???0.6; （2） P(B/A)?P(B)0.183P(A)0.2054

（3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2?0.18?0.12?0.26.

14． 甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。

（1） 事件A?“取得2个红球”; （2） 事件 B?“取得的两球颜色相同” 解： (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件

11总数 n?C25C25?625. 由乘法原理知道事件A包含的基本事件个数 11k?C7C6?7?6?42.?p(A)?k42?. n625用 A1,A2,A3分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 B1,B2,B3分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则 A?A2B2。

?A2与 B2相互独立。?P(A)?P(A2)P(B2)?7642?? 2525625（2） ?B?A1B1?A2B2?A3B3 Ak与 Bk(k?1,2,3)相互独立, 且

A1B1,A2B2,A3B3三种情况互不相容，

则 P(B)?P(A1)P(B1)?P(A2)P(B2)?P(A3)P(B3) 1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?P(A?31076159207??????. 25252525252562515. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 0.1,0.2,0.3；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为0.3。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的） 解：设事件A?“采用第一种工艺获得一级品”;事件B?“采用第二种工艺获得一级品”; 第一种工艺经过三道工艺，第k道工序出合格品事件记为Ak由题设知道：P(A1)?1?P(A1)?1?0.1?0.9.

(k?1,2,3),

P(A2)?1?P(A2)?1?0.2?0.8. P(A3)?1?P(A3)?1?0.3?0.7.

第二种工艺二道工序，第k道工序出合格品的事件记为 Bk5

(k?1,2).