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切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)??2，则对于任意正数?，不等式
?2P{X-???}?2成立
?§1.3 点估计
1.3.1 矩估计
用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体
平均），它由K .Pearson 在20世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩。
总体X分布函数的未知参数为??(?1,?2,???,?m)T,如果总体的k阶原点矩
我们设总体的k阶原点矩与它的样本的k阶原点矩E(Xk)??k(?1,?2,???,?m),k?1,2,???,m存在，相等
1nAk??Xik,k?1,2,???,m
ni?11n即?k(?1,?2,???,?m)?E(X)??Xik?Ak,k?1,2,???,m
ni?1k ? ??(??,??,???,??)T从上面式子可得到关于未知量?的解?i??(X1,X2,???,Xn),i?1,2,???,m，取?12m作为??(?1,?2,???,?m)T的估计，就称??为?的矩估计。
关键要掌握两个式子（设总体的均值为?，方差为?，X1,X2,???,Xn是来自总体X的一个样本）：可得总体X的一阶，二阶原点矩为
2
? ??1=E(X)=?, ?2222??2?E(X)?D(X)?[E(X)]????,而样本的一阶，二阶原点矩为
1n1n A1??Xi?X,A2??Xi2
ni?1ni?1由此可得到
1n ??X,?????Xi2，
ni?122?2???X，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差S，而是?所以?2n?12S，矩估计n
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1n为(Xi?X)2。 ?n?1i?1当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a、涉及到矩的阶数尽量小， 对总体X的要求也尽量少； 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。
矩估计的两个基本特点是1、由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。
1.3.2 极大似然估计
极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在1821年由德国数学家Gauss提出的，但并没有得到重视，在1922年R.A.Fisher再次提出，并探讨研究了它的性质。它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。
总体X的分布律或概率密度函数为f(x;?),???是未知参数，其中总体的样本是
X1,X2,???,Xn，则
L(?;x)?L(?;x1,x2,???,xn)??f(x;?)
ii?1n????(X)???(X,X,???,X)满足条件 为?的似然函数。若统计量?12n?(X);X)?supL(?;x), L(?????)?(Y?X??)?(Y?X?min(Y?X?)?(Y?X?)
??(X)为?的极大似然估计。 则称?极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复
杂的点估计。尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。
§1.4贝叶斯公式
设B1,B2...Bn是一系列互不相容的事件，且有
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?Bi?1ni??, P(Bi)?0,i?1,2...n.
则对任一事件A，有 P(BiA)?P(Bi)P(ABi)?P(B)P(AB)jjj?1n， i?1,2...n.
。 P(Bi)叫先验概率，也叫边缘概率，P(BiA)叫后验概率（i?1,2...n.）
§1.5 中心极限定理
1.5.1林德伯格定理
设独立随机变量X1,X2,?,Xn?满足林德伯格条件，对于任意的正数?,有
1lim2n??Sn??i?1nx??i＞?sn(x??i)2fi(x)dx?0。
其中fi(x)是随机变量Xi的概率密度,则当n??时,我们有
n??limP(Zn?z)??2?1z??e?t22dt
即
limP(i?1n???(Xni??i)?z)?12?sn?z??e?t22dt
其中z是任何实数。
1.5.2棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：
1),随机变量Yn表示事件A在n 设在独立试验序列中,事件A在各次试验中发生的概率为p(0＜p＜次试验中发生的次数,则有
t???Yn?np?z1?2limP??z???edt,
??n??2????np(1?p)?2其中z是任何实数。
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§1.6随机变量及其分布
1.6.1随机变量
设随机试验的样本空间为S?{e}. X?X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X?X(e)为随机变量
1.6.2离散性随机变量及其分布律
(1) 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
（2）?Pk=1 P(X?xk)?pk满足如下两个条件（1）pk?0，
k?1?三种重要的离散型随机变量
设离散型随机变量的分布律为P{X?K}?PK(1?P)(1?K),其中K=0、1，P为k=1时的概率(0 （2）伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A)?p（0?p?1)，此时 —P(A)?1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。 ??n?kn-k?n?kn-kp?0 P(X?k)??满足条件（1），（2）=1注意到P??pq，k?0,1,2，?n?kk?k??k??pqk?1????—n是二项式的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。 （p?q）k（3）泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为 P(X?k)??ke-?k! ,k?0,1,2?,其中??0是常数，则称X服从参数为?的泊松分布记为X~?（?） 1.6.3 随机变量的分布函数 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{X?x},-??x?? 称为X的分布函数 分布函数F(x)?P(X?x)，具有以下性质 (1) F(x)是一个不减函数 页 中国地质大学2014届本科生毕业论文 第 8 页 共 15 (2) （2）0?F(x)?1，且F(??)?0,F(?)?1 (3) （3）F(x?0)?F(x),即F(x)是右连续的 1.6.4 连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f(x)，使对于任意函数x有F(x)?率密度 1 概率密度f(x)具有以下性质，满足（1）f(x)?0, (2) （3）P(x1?X?x2)??x-?f（t）dt,则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概 ???-?f(x)dx?1； ?x2x1（4）若f(x)在点x处连续，则有F，f(x)dx；(x)?f(x) 2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 ?1?，a?x?b若连续性随机变量X具有概率密度f(x)??b-a，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布. ??0，其他记为X~U（a，b） (2)指数分布 ?1-x??e若连续性随机变量X的概率密度为f(x)?????0，x.?0，其他 其中??0为常数，则称X服从参数为 ?的指数分布。 （3）正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)?12??e?2(x??）2?2其中?，?（??0)为常数，则称X服从参数为?，?的正态分布，-??x??，或高斯分布，记为X~N（?，?2） 特别，当??0，??1时称随机变量X服从标准正态分布 1.6.5 随机变量的函数的分布 设随机变量X具有概率密度fx(x)，-??x??,又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)?0，则 ,?fX?h(y)?h,(y),??y??Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为fY(y)??0，其他?