命题 设随机变量X有连续的分布函数,且有

dPXn???X,Yn???1,

d??X. 则 XnYn?定理5 设X1,X2,?,Xn为总体X的样本,并设总体X的数学期望与方差均存在, 记为EX??;DX??2.记统计量

,

?/nS/n其中X与S分别表示上述样本的样本均值与样本方差,则有

dd (1)FUn(x)????0(x),(2)FTn(x)????0(x),

Un?,Tn?X??X??以上FUn(x),FTn(x)与?(x)分别表示Un,Tn与标准正态分布的分布函数.

注： 定理4成立的条件只是总体的方差存在，这样当样本的容量n充分大时，Un和Tn都近似地服从标准正态分布，因此在?2已知时，可用Un对?进行统计推断；在?2未知时，可用Tn对?进行统计推断。

单正态总体的抽样分布

例1设X~N(21,22),X1,X2,?,X25为X的一个样本,求: (1) 样本均值X的数学期望与方差; (2) P{|X?21|?0.24}.

例2假设某物体的实际重量为?, 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了n次,得到X1,X2,?,Xn. 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布N(?,?2), 方差?2反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用样本均值X??2去估计?, 根据定理1, X~N???,n???. 再从正态分布的3?性质知 ???3??P?|X??|???99.7%.

n??这就是说, 我们的估计值X与真值?的偏差不超过3?/n的概率为99.7%,并且随着称量次数n的增加, 这个偏差界限3?/n愈来愈小. 例如若??0.1,n?10. 则

?3?0.1?P?|X??|???P{|X??|?0.09}?99.7%,

10??于是我们以99.7%的概率断言, X与物体真正重量?的偏差不超过0.09.如果将称量次数n

增加到100, 则

?3?0.1?P?|X??|???P{|X??|?0.03}?99.7%.

100??这时,我们以同样的概率断言, X与物体真正重量?的偏差不超过0.03.

例3在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.

对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(?,?2), 这里

?2?100米2, 现在进行了25次发射试验, 用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距

离的样本方差. 试求S2超过50米2的概率.

例4从正态总体N(?,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10.

X是样本的均值. 若?未知, 计算概率

?10??10?2P??(Xi??)?1.68?与P??(Xi?X)2?2.85?. ?i?1??i?1?

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双正态总体的抽样分布

例5从正态总体X~N(?,?2)中抽取容量为16的一个样本, X,S2分别为样本的均值和方差. 若?,?2均未知, 求S2的方差DS及概率:

?S2???2?116??(Xi?X)2?2?2? (1) P?2?2.041?; (2) P?????216i?1???2?116 (3) P???(Xi??)2?2?2?.

?216i?1?2

例6设两个总体X与Y都服从正态分布N(20,3)，今从总体X与Y中分别抽得容量n1?10,n2?15的两个相互独立的样本, 求P{|X?Y|?0.3}.

例7设总体X和Y相互独立且都服从正态分布N(30,32); X1,?,X20;Y1,?,Y25分别

22?0.4}. 来自总体X和Y的样本, X,Y, S12和S2分别是这两个样均值和方差. 求P{S12/S2

思考题：

1. 设X1,X2,?,X15为正态总体N(0,32)的一个样本, X为样本均值, 求:

15?? P?36.65??(Xi?X)2?235?.

i?1??2. 设X1,X2,?,Xn为总体X~N(?,?2)的一个样本, X和S2为样本均值和样本方差.

又设新增加一个试验量Xn?1,Xn?1与X1,?,Xn也相互独立, 求统计量

U?Xn?1?XSn n?1的分布.

参考资料：

《概率论与数理统计》 韩旭里等编著 复旦大学出版社 《概率论与数理统计》 吴赣昌编著 人民大学出版社

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