此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上侧分位数.
分位数
例1设??0.05, 求标准正态分布的水平0.05的上侧分位数和双侧分位数.
?2分布
例2设X1,?,X6是来自总体N(0,1)的样本, 又设
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2
试求常数C, 使CY服从?2分布.
t分布
例3设随机变量X~N(2,1), 随机变量Y1,Y2,Y3,Y4均服从N(0,4), 且X,Yi(i?1,2,3,4)都相互独立, 令
4(X?2)T?,
?Yi?14i2试求T的分布, 并确定t0的值, 使P{|T|?t0}?0.01.
F分布
例4设总体X服从标准正态分布, X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个简单随机样本, 试问统计量
?n?5252Y???1??Xi?Xi,n?5
?5?i?1i?1服从何种分布?
思考题
1.设X1,X2,X3,X4,X5是来自正态总体N(0,22)的样本. C(X1?X2)(1) 求C使统计量Y1?服从t(m)分布.
222X3?X4?X5(X1?X2)2(3) 求Y2?所服从的分布.
(X4?X3)2第三节 抽样分布
一、抽样分布
有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.
讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地求出抽样分布, 并称相应的统计推断为小样本统计推断; 另一种方式是让样本容量趋于无穷, 并求出轴样分布的极限分布.然后,在样本容量充分大时, 再利用该极限分布作为抽样分布的近似分布, 进而对未知参数进行统计推断, 称与此相应的统计推断为大样本统计推断. 这里重点讨论正态总体的抽样分布, 属小样本统计范畴；此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限分布, 属大样本统计范畴。
二、单正态总体的抽样分布 设总体X的均值?,方差为?2,X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本,X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
E(X)??,D(X)??2,
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?1?n2????Xi?nX2?? 而 E(S)?E???????n?1?i?1?1?n1?n22?2222??E(X)?nE(X)?(???)?n(?/n??)???2. ?????in?1?i?1?n?1?i?1?故有下列定理:
定理1 设总体X~N(?,?2), X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
2(1) X~N(?,?2/n); (2) U?X??~N(0,1). ?/n定理2 设总体X~N(?,?2), X1,X2,?,Xn是取自X的一个样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) ?=
2n?1?2S?2?(Xi?2i?11n?X)2~?2(n?1);
(2) X与S2相互独立.
定理3 设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn是取自X的一个 样本, X与S2分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
(1) ??(2) T?21?2?(Xi?1ni??)2~?2(n)
X??S/n~t(n?1).
三、双正态总体的抽样分布
2)是两个相互独立的正态总体, 又设定理4 设X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?2X1,X2,?,Xn是取自总体X的样本, X与S12分别为该样本的样本均值与样本方差.
1Y1,Y2,?,Yn是取自总体Y的样本, Y与S22分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记Sw2是
22S12与S2的加权平均, 即
Sw22(n1?1)S12?(n2?1)S2?.
n1?n2?2则 (1) U?(X?Y)?(?1??2)?122/n1??2~N(0,1);
/n2??2?S12(2) F??????S2~F(n1?1,n2?1);
?1?2(X?Y)?(?1??2)2??2时, T?~t(n1?n2?2). (3) 当?12??2Sw1/n1?1/n22
四、一般总体抽样分布的极限分布
定义1 设Fn(x)为随机变量Xn的分布函数, F(x)为随机变量X的分布函数,并记C(F)为由F(x)的全体连续点组成的集合, 若
limFn(x)?F(x),?x?C(F),
n??则称随机变量Xn依分布收敛于X, 简记为
ddXn???X或Fn(x)???F(x).
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