3. 排列组合方法：排列公式：(2) 组合公式； (3) 二项式公式.
三、几何概型
古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型—几何概型.
（a）设样本空间S是平面上某个区域, 它的面积记为?(S);（b）向区域S上随机投掷一点,这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域A的可能性只与区域A的面积?(A)成比例, 而与区域A的位置和形状无关. 向区域S上随机投掷一点, 该点落在区域A的的事件仍记为A，则A概率为P(A)???(A), 其中?为常数，而P(S)???(S)，于是得??从而事件A的概率为P(A)?1，?(S)?(A) 几何概率 (?) ?(S)注: 若样本空间S为一线段或一空间立体, 则向S“投点”的相应概率仍可用(?)式确定, 但?(?)应理解为长度或体积.
例题选讲：
例1 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求
(1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;
(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率. 例2将标号为1, 2, 3, 4的四个球随意地排成一行, 求下列各事件的概率:
(1) 各球自左至右或自右至左恰好排成1, 2, 3, 4的顺序; (2) 第1号球排在最右边或最左边; (3) 第1号球与第2号球相邻;
(4) 第1号球排在第2号球的右边(不一定相邻).
例3 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少? 例4将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级中, 其中一班4名, 二班5名, 三班6名, 求:
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率; (2) 3名优秀生被分配到一个班级的概率.
例5 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?
例6 一个袋子中装有a?b个球，其中a个黑球，b个白球，随意的每次从中取出一个球（不放回），求下列各事件的概率：
（1）第i次取到的是黑球； （2）第i次才取到黑球; （3）前i次中能取到黑球. 几何概型
例7 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次, 求他(她)等待时间短于10分钟的概率. 例8会面问题) 甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面, 先到者等候另一人20分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能够会面的概率.
思考题
1. 设有N件产品, 其中有M件次品, 现从中任取n件, 求其中有k(k?M)件次品的概率.
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第四节 条件概率
先由一个简单的例子引入条件概率的概念. 一、 条件概率的概念
在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A发生的条件下,求事件B发生的条件概率,记作P(B|A). 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)?0, 则称P(B|A)?P(AB) (1)为在事件A发生的条件下,P(A)事件B的条件概率.相应地，把P(B)称为无条件概率。一般地，P(B|A)?P(B).
注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.因已知A已发生,故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间. 2. 计算条件概率有两种方法:：a) 在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P(B|A)；b) 在样本空间S中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算P(B|A)。
二、乘法公式
由条件概率的定义立即得到:P(AB)?P(A)P(B|A)(P(A)?0) (2)
注意到AB?BA, 及A,B的对称性可得到:P(AB)?P(B)P(A|B)(P(B)?0) (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.
三、全概率公式
全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
定理1 设A1,A2,?,An,?是一个完备事件组,且P(Ai)?0,i?1,2,?,则对任一事件B,有
P(B)?P(A1)P(B|A1)???P(An)P(B|An)??
注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出: 在复杂情况下直接计算P(B)不易时,可根据具体情况构造一组完备事件{Ai}, 使事件B发生的概率是各事件Ai(i?1,2,?)发生条件下引起事件B发生的概率的总和.
四、贝叶斯公式
利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率.下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性. 例如,有三个放有不同数量和颜色的球的箱子,现从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.或问:该球取自哪号箱的可能性最大?
定理2 设A1,A2,?,An,?是一完备事件组,则对任一事件B,P(B)?0,有
P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai),?P(Aj)P(B|Aj)ji?1,2,?, 贝叶斯公式
注: 公式中,P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.P(Ai)(i?1,2,?)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下诸事件发生的概率.当获得新的信息(知道B
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发生),人们对诸事件发生的概率P(Ai|B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化. 特别地,若取n?2,并记A1?A, 则A2?A,于是公式成为 P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?. P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)例题选讲：
条件概率
例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回)
(1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率.
例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率. 乘法公式
例3一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率.
分析：这一概率, 我们曾用古典概型方法计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键.
例4设袋中装有r只红球, t只白球.每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一, 二次取到红球且第三, 四次取到白球的概率.
例5设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.
例6)已知P(A)?0.3, P(B)?0.4，P(A|B)?0.5, 试求 P(B|A?B),P(A?B|A?B). 例7一袋中装有10个球, 其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率. 全概率公式
例8人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化, 往往会去分析影响股票价格的基本因素, 比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验, 人们估计, 在利率下调的情况下, 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下, 其价格上涨的概率为40%, 求该支股票将上涨的概率.
例9 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求: (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.
例10 在例7中，我们将“第二次取到的球为黑球”这一事件分解为两种情况下发生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球为黑球”的概率. 现在的问题是,假设我们已经观察到“第二次取到的球为黑球”，但我们不知道是在第一次取到的球为黑球的情况下第二次取的是黑球的可能性大，还是在第一次取到的球为白球的情况下第二次取到的是黑球的可能性大，现求“第一次取到的是黑球”这种“情况”发生的概率.
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例11对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格时, 机器调整得良好的概率是多少?
例12设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.
例13 根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)?0.95,P(A|C)?0.95 现在对自然人群进行普查, 设备试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)?0.005, 试求 P(C|A).
思考题
1.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?
第五节 事件的独立性
一、 两个事件的独立性
定义 若两事件A,B满足P(AB)?P(A)P(B) (1)则称A,B独立, 或称A,B相互独立. 注: 当P(A)?0,P(B)?0时, A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立. 但?与S既相互独立又互不相容(自证).
定理1 设A,B是两事件, 且P(A)?0,若A,B相互独立, 则P(A|B)?P(A). 反之亦然. 定理2 设事件A,B相互独立,则下列各对事件也相互独立: A与B,A与B,A与B.
二、有限个事件的独立性
P(AB)?P(A)P(B),P(AC)?P(A)P(C),定义：A,B,C为三个事件, 若满足等式则称事件A,B,C相互独立.
P(BC)?P(B)P(C),P(ABC)?P(A)P(B)P(C),对n个事件的独立性, 可类似写出其定义:
定义 设A1,A2,?,An是n个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称A1,A2,?,An两两独立.
三、 相互独立性的性质
性质1 若事件A1,A2,?,An(n?2)相互独立, 则其中任意k(1?k?n)个事件也相互独立;
由独立性定义可直接推出.
性质2 若n个事件A1,A2,?,An(n?2)相互独立, 则将A1,A2,?,An中任意m(1?m?n)个事件换成它们的对立事件, 所得的n个事件仍相互独立; 对n?2时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.
?性质3设A1,A2,?,An是n(n?2)个随机事件，则A1,A2,?,An相互独立 A1,A2,?,An两
??两独立。 即相互独立性是比两两独立性更强的性质,
四、伯努利概型
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设随机试验只有两种可能的结果: 事件A发生(记为A) 或 事件A不发生(记为A), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设P(A)?p,P(A)?1?p,(0?p?1),将伯努利试验
独立地重复进行n次, 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验, 或简称为伯努利概型. 注: n重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他各次试验中A是否发生的影响.
定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0?p?1),则在n重贝努里试
kkp(1?p)n?k,(k?0,1,?,n). 验中,事件A恰好发生k次的概率为P{X?k}?Cn推论 设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0?p?1), 则在n重贝努里试验中, 事件A在第k次试验中的才首次发生的概率为p(1?p)k?1,(k?0,1,?,n).
注意到“事件A第k次试验才首次发生”等价于在前k次试验组成的k重伯努利试验中“事
件A在前k?1次试验中均不发生而第k次试验中事件A发生”,再由伯努利定理即推得.
例题选讲：
两个事件的独立性
例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A?{抽到K}, B?{抽到的牌是黑色的}, 问事件A、B是否独立?
注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.
相互独立性的性质
例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设A?{从甲袋中取出的是偶数号球}, B?{从乙袋中取出的是奇数号球}, C?{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证A,B,C两两独立但不相互独立.
例3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.
例4如图是一个串并联电路系统.A,B,C,D,E,F,G,H都是电路中的元件. 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性.
例5甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立.
例6 某种小数移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.
伯努利概型
例7一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求解以下两个问题:
(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;
(2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 例8一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25, 为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用, 且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效, 反之则认为无效. 求
（1）虽然新药有效，且把痊愈率提高到0.35，但通过实验却被否定的概率. （2）新药完全无效，但通过实验却被认为有效的概率.
例9 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.
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