标准正态分布表的使用：（1）表中给出了x?0时?(x)的数值, 当x?0时, 利用正态分布的对称性, 易见有?(?x)?1??(x);（2） 若X~N(0,1),则P{a?X?b}??(b)??(a); （3）若X~N(?,?2),则Y?X???~N(0,1),

?X??x????x???故X的分布函数F(x)?P{X?x}?P???; ???????????b????a???b????a???P{a?X?b}?P??Y??????. ??????????????例题选讲：

连续型随机变量及其概率密度

?21?x2,?1?x?1?例1 设随机变量X的密度函数为f(x)???求其分布函数F(x).

?0,其它?0?x?3,?kx,?x?例2设随机变量X具有概率密度f(x)??2?,3?x?4,

2??其它.?0,(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x);(3)求P{1?X?7/2}.

x?0?0,?例3设随机变量X的分布函数为F(x)??x2,0?x?1

?1,1?x?求 (1) 概率P{0.3?X?0.7}; (2) X的密度函数.

常用连续型分布 均匀分布

例4某公共汽车站从上午7时起, 每15分钟来一班车, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率. 指数分布

例5某元件的寿命X服从指数分布, 已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率. 正态分布

例6设X~N(1,4), 求 F(5),P{0?X?1.6},P{|X?1|?2}.

例7 设某项竞赛成绩X~N（65, 100），若按参赛人数的10%发奖，问获奖分数线应 定为多少？

例8将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且 X~N(d,0.52)(1) 若 d?90℃，求X小于89℃ 的概率； (2) 若要求保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少为多少？

例9某企业准备通过招聘考试招收300名职工,其中正式工280人, 临时工20人; 报考的人数是1657人, 考试满分是400分. 考试后得知, 考试总平均成绩, 即??166分, 360分以上的高分考生31人. 某考生B得256分, 问他能否被录取? 能否被聘为正式工?

例10在电源电压不超过200伏，在200~240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2. 假设电源电压X服从正态分布N(220，25)，试求： (1) 该电子元件损坏的概率?; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240伏的概率?.

思考题

2 16

1.已知X~N(8,0.52)，求(1) F(9),F(7); (2) P{7.5?X?10};

(3) P{|X?8|?1}; (4) P{|X?9|?0.5}.

2.某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(?,?2), 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%, 为使其寿命在??x和??x之间的概率不小于0.9, x至少为多少?

第五节 随机变量函数的分布

一、 随机变量的函数

定义 如果存在一个函数g(X), 使得随机变量X,Y满足Y?g(X),则称随机变量Y是随机变量X的函数.

注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.

一般地, 对任意区间I, 令C?{x|g(x)?I}, 则{Y?I}?{g(x)?I}?{X?C}, P{Y?I}?P{g(x)?I}?P{X?C}.

注: 随机变量Y与X的函数关系确定,为从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.

二、离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?易见, X的函数Y?g(X)显然还是离散型随机变量。

如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布? 其一般方法是：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值, 然后对Y的每一个可能取值yi,i?1,2,?,确定相应的Ci?{xj|g(xj)?yi},{Y?yi}?{g(xi)?yi}?{X?Ci},P{Y?yi}?P{X?Ci}?xj?Ci?P{X?x}.j从而求得Y的概率分布.

三、 连续型随机变量函数的分布

一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.

设已知X的分布函数FX(x)或概率密度函数fX(x), 则随机变量函数Y?g(X)的分布函数可按如下方法求得:FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?Cy}.其中Cy?{x|g(x)?y}. 而P{X?Cy}常常可由X的分布函数FX(x)来表达或用其概率密度函数fX(x)的积分来表达:P{X?Cy}??CyfX(x)dx进而可通过Y的分布函数FY(x), 求出Y的密度函数.

定理1 设随机变量X具有概率密度fX(x),x?(??,??),又设y?g(x)处处可导且恒有g?(x)?0(或恒有g?(x)?0), 则Y?g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为

17

?f[h(y)|h?(y)|,??y??fY(y)?? 其中x?h(y)是y?g(x)的反函数, 且

0,其它???min(g(??),g(??)),??max(g(??),g(??)).

例题选讲：

离散型随机变量函数的分布

例1设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y?(X?1)2的分布律

X?1012pi0.20.30.10.4

连续型随机变量函数的分布

例2对一圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上均匀分布, 求圆片面积的概率分布密度.

?x/8,0?x?4例3设X~fX(x)??, 求Y?2X?8的概率密度.

0,其它?例4 设X~N(0,1), 求Y?X2的密度函数.

例5已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y?F(X)服从[0,1]上的均匀分布.

例6设随机变量X~N(?,?2).试证明X的线性函数Y?aX?b(a?0)也服从正态分布. 例7设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布, 求Y??2lnX的概率密度.

例8 (对数正态分布) 随机变量X称为服从参数为?,?2的对数正态分布, 如果Y?lnX服从正态分布N(?,?2). 试求对数正态分布的密度函数.

注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式（Black—Scholes公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为P0, 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价

r格为一个随机变量, 记作P1?P0e 1, 设投资于该资产的连续复合收益率为r, 则有PP从而r?ln1?lnP1服从对数正1?lnP0注意到P0为当前价格, 是已知常数,因而假设价格PP0态分布实际上等价于假设连续复合收益率r服从正态分布.

例9设随机变量X服从参数为?的指数分布, 求Y?min{X,2}的分布函数.

思考题

X?10125/21. 设X的分布列为求: (1) 2X的分布列; (2) X2的分布列.

pi1/51/101/101/103/10?2x/?2,0?x??,2. 设随机变量X的概率密度为f(x)??求Y?sinX的概率密度.

0,其它.?

第三章 多维随机变量及其分布

在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要同时抽查儿童的身高H、体重W, 这里, H和W是定义在同一个样本空间S?{e}?{某地区的全部学龄前儿童}上的两个随机变量. 又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X和纵坐标Y. 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布. 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难, 故我们重点讨论二维随机变量. 【教学目的与要求】

18

通过学习，使学生了解随机向量（多维随机变量）的概念；了解二维随机变量的联合分布函数、联合分布律、联合分布密度的概念和性质，并会计算有关事件的概率。掌握二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系。理解随机变量独立性的概念，并会应用随机变量的独立性进行概率计算。会求简单的二维随机变量函数的分布。 【教学重点】

二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系与计算；随机变量的独立性。 【教学难点】

条件分布；二维随机变量函数的分布；

【计划课时】5 【教学内容】

第一节 多维随机变量的分布

一、 二维随机变量

定义1 设随机试验的样本空间为S?{e}, e?S为样本点，而X?X(e),Y?Y(e)

是定义在S上的两个随机变量, 称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量. 二、 二维随机变量的分布函数

定义2 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意实数x,y, 二元函数 F(x,y)?P{(X?x)}?P{(Y?y)}记为P{X?x,Y?y}称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或

称为随机变量X和Y的联合分布函数.

联合分布函数的性质:（1） 0?F(x,y)?1, 且对任意固定的y,F(??,y)?0, 对任意固定的x,F(x,??)?0,F(??,??)?0,F(??,??)?1;(2) F(x,y)关于x和y均为单调非减函数, 即对任意固定的y, 当x2?x1,F(x2,y)?F(x1,y),对任意固定的x, 当y2?y1,F(x,y2)?F(x,y1); (3) F(x,y)关于x和y均为右连续, 即 F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0).

三、 二维离散型随机变量及其概率分布

定义3 若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量.结论：(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量. 若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj)i,j?1,2,?, 则称 P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布(分布律), 或

X与Y的联合概率分布(分布律).

与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示, 并称为联合概率分布表:

注：对离散型随机变量而言, 联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观, 而且能够更加方便地确定(X,Y)取值于任何区域D上的概率，即P{(X,Y)?D}?ij(xi,yj)?D?p,

ijxi?x,yj?y特别地, 由联合概率分布可以确定联合分布函数:F(x,y)?P{X?x,Y?y}?四、二维连续型随机变量及其概率密度

?p.

定义 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数

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f(x,y), 使对任意实数(x,y), 有F(x,y)???xy????f(s,t)dsdt,则称(X,Y)为二维连续型随

机变量, f(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数), 或X,Y的联合概率密度(联合密度函数). 概率密度函数f(x,y)的性质:(1)f(x,y)?0; (2)????????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1;

(3) 设D是xOy平面上的区域,点(X,Y)落入D内的概率为P{(x,y)?D}???f(x,y)dxdy

D特别地, 边缘分布函数

FX(x)?P{X?x}?P{X?x,Y???}???x??????f(s,t)dsdt????????????x?????f(s,t)dt?ds,

?上式表明: X是连续型随机变量, 且其密度函数为:fX(x)??f(x,y)dy, 同理, Y是连续型随机变量, 且其密度函数为:fY(y)??f(x,y)dx,

????分别称fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数.

?2F(x,y)(4) 若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有 ?f(x,y).进一步, 根据偏导数的定义, 可推得:

?x?y当?x,?y很小时, 有P{x?X?x??x,y?Y?y??y}?f(x,y)?x?y,即, (X,Y)落在区间(x,x??x]?(y,y??y]上的概率近似等于f(x,y)?x?y.

五、二维均匀分布

设G是平面上的有界区域,其面积为A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数 ?1?,(x,y)?G则称(X,Y)在G上服从均匀分布. f(x,y)??A?0,其它?六、二维正态分布

若二维随机变量(X,Y)具有概率密度

12??1?21??2??x???2?x??1??y??21???????2????????2???2(1??)?1?1??2??1??y??2??????2??????2?f(x,y)?e???其中?1,?2,?1,?2,?均为常数,

且?1?0,?2?0,|?|?1,则称(X,Y)服从参数为?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布.

注：二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布，且都不依赖于参数?，亦即对给定的?1,?2,?1,?2，不同的?对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是相同的，因此仅由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说不能确定二维随机变量(X,Y)的联合分布的 例题选讲：二维随机变量的分布函数 例1设二维随机变量(x,y)的分布函数为

x??y??F(x,y)?A?B?arctan??C?arctan?,???x???,???y???

2??3??(1) 试确定常数A,B,C. (2) 求事件{2?X???,0?Y?3}的概率.

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