D(X)??[xi?E(X)]2pi;若X是连续型随机变量,且其概率密度为f(x), 则

i?1??D(X)??[xi?E(X)]2f(x)dx.利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式:

??D(X)?E(X2)?[E(X)]2.

三、方差的性质

1. 设C常数, 则D(C)?0;

2. 若X是随机变量, 若C是常数, 则D(CX)?C2D(X);

3. 设X,Y是两个随机向量,则D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2E((X?E(X))(Y?E(Y))); 特别地, 若X,Y相互独立, 则D(X?Y)?D(X)?D(Y).

?n?n?n?n2注: 对n维: 若X1,X2,?,Xn相互独立, 则D??Xi???D(Xi),D??CiXi???CiD(Xi).

?i?1?i?1?i?1?i?1*四、 条件数学期望和条件方差简介

由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量的取值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是：在某个随机变量取某值的条件下，求另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为简介，我们直接给出它们的定义 1. 设(X,Y)是离散型随机向量, 其概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij(i?1,2,?,j?1,2,?,)

定义2 (i) 称E(Y|X?xi)??yjP{Y?yj|X?xi}（绝对收敛）为在 X?xi条件下Y的条件

j数学期望.类似地，称 E(X|Y?yi)??xiP{X?xi|Y?yj}（绝对收敛）为在 Y?yi条件下

i（绝对收敛）X的条件数学期望;(ii) 称D(Y|X?xi)??[yj?E(Y|X?xi)]P{Y?yj|X?xi}j2为在 X?xi条件下Y的条件方差.

类似地，称D(X|Y?yi)??[xi?E(X|Y?yj)]P{X?xi|Y?yj}（绝对收敛）为在Y?yj条

i2件下X的条件方差.

2．设(X,Y)是连续型随机向量, fY|X(y|x)是在X?x条件下的概率密度，fX|Y(x|y)是在Y?y条件下X的概率密度.

定义3 (i) 称 E[Y|X?x]??yfY|X(y|x)dy（绝对收敛）为在 X?x条件下Y的条件数学

????期望;类似地，称E[X|Y?y]??xfX|Y(x|y)dx（绝对收敛）为在 Y?y条件下X的条件数

????学期望; (ii) 称D(Y|X?x)??[y?E(Y|X?x)]2fY|X(y|x)dy（绝对收敛）为在X?x条件下

????Y的条件方差;类似地，称D(X|Y?y)??[x?E(X|Y?y)]2fX|Y(x|y)dx（绝对收敛）为在

???? 31

Y?y条件下X的条件方差.

例题选讲: 方差的计算

例1设随机变量X具有数学期望E(X)??,方差D(X)??2?0. 记X*?X???, 则

E(X*)?*1?E(X??)?*21?[E(X)??]?0;*2D(X)?E(X即X*?)?[E(X)]?E[(X????2)]?2E[(X??)]?2?1.

??212X???的数学期望为0, 方差为1. X*称为X的标准化变量.

例2设随机变量X具有(0?1)分布, 其分布律为P{X?0}?1?p,P{X?1}?p,

求E(X),D(X).

例3设X~P(?), 求E(X),D(X). 例4设X~U(a,b), 求E(X),D(X).

?1?x/??e,x?0,例5设随机变量X服从指数分布, 其概率密度为f(x)???

?x?0.?0,其中??0, 求E(X),D(X).

例6设随机变量X服从几何分布, 概率函数P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,n 其中0?p?1, 求E(X),D(X).

例7设随机变量X,Y的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量Z?X?Y的期望与方差.

方差的性质

例8设f(x)?E(X?x)2,x?R, 证明当x?E(X)时, f(x)达到最小值.

注：本例子说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置, 反映了X的平均值. 例9 (设X~b(n,p), 求E(X),D(X). 例10 设X~N(?,?2), 求E(X),D(X).

X~N(22.40,0.03),气缸的直径Y~N(22.50, 0.04), 例11 设活塞的直径（以cm计）

X,Y相互独立, 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率.

例12随机变量X和Y相互独立,证D(XY)?D(X)D(Y)?[E(X)]2D(Y)?[E(Y)]2D(X).

条件数学期望和条件方差简介

2,?)，求E(Y|X?x), D(Y|X?x). 例 13设(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2思考题

0?x?1?x,?1. 设随机变量X的密度函数为 f(x)??2?x,1?x?2求E(X).

?0,其它.?2. 设随机变量X的概率分布律为

222X?101/212pi1/31/61/61/121/4

试求Y??X?1及Z?X的期望与方差.

32

第三节 协方差及相关系数

对多维随机变量, 随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系. 本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.

一、 协方差的定义

定义 设(X,Y)为二维随机向量,若E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}存在, 则称其为随机变量X和

.Y的协方差, 记为Cov(X,Y),即 cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}按定义, 若(X,Y)为离散型随机向量,其概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij则cov(X,Y)??E{[xi?E(X)][yj?E(Y)]}.

i,j(i,j?1,2,?)

若(X,Y)为连续型随机向量, 其概率分布为f(x,y), 则cov(X,Y)???????????E{[x?E(X)][y?E(Y)]}f(x,y)dxdy.

此外, 利用数学期望的性质, 易将协方差的计算化简. cov(X,Y)?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?E(XY)?E(X)E(Y)?E(Y)E(X)?E(X)E(Y) ?E(XY)?E(X)E(Y).特别地, 当X与Y独立时, 有 cov(X,Y)?0.

二、协方差的性质

1. 协方差的基本性质(1)cov(X,X)?D(X);(2)cov(X,Y)?cov(Y,X);

(3)cov(aX,bY)?abcov(X,Y),其中a,b是常数;(4)cov(C,X)?0,C为任意常数; (5)cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y).(6) 若X与Y相互独立时,则cov(X,Y)?0.

2. 随机变量和的方差与协方差的关系D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y), 特别地, 若X与Y相互独立时, 则D(X?Y)?D(X)?D(Y). 三、相关系数的定义与性质

定义 设(X,Y)为二维随机变量,D(X)?0,D(Y)?0,称?XY?Cov(X,Y)

D(X)D(Y)为随机变量X和Y的相关系数.有时也记?XY为?. 特别地，当?XY?0时，称X与Y不相关. 相关系数的性质

1. |?XY|?1; 2. 若X和Y相互独立, 则?XY?0.

3. 若DX?0,DY?0,则|?XY|?1当且仅当存在常数a,b(a?0). 使P{Y?aX?b}?1, 而且当

a?0时, ?XY?1;当a?0时, ?XY??1.

注: 相关系数?XY刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.|?XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;|?XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.当|?XY|?1时, Y与X

33

的变化可完全由X的线性函数给出.当?XY?0时, Y与X之间不是线性关系.

4. 设e?E[Y?(aX?b)]2,称为用aX?b来近似Y的均方误差,则有下列结论. 设D(X)?0,D(Y)?0, 则a0?cov(X,Y),b0?E(Y)?a0E(X)使均方误差达到最小.

D(X)注:可用均方误差e来衡量以aX?b近似表示Y的好坏程度, e值越小表示aX?b与Y的近似

2). 从这个侧面也程度越好.且知最佳的线性近似为a0X?b.而其余均方误差e?D(Y)(1??XY能说明. |?XY|越接近1, e越小.反之, |?XY|越近于0, e就越大.Y与X的线性相关性越小. 四、矩的概念

定义 设X和Y为随机变量, k,l为正整数, 称

E(Xk) 为k阶原点矩(简称k阶矩阵); E([X?E(X)]k) 为k阶中心矩; E(|X|k) 为k阶绝对原点矩; E(|X?E(X)|k) 为k阶绝对中心矩;

E(XkYl) 为X和Y的k?l阶混合矩;

E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l} 为X和Y的k?l阶混合中心矩;

注: 由定义可见:(1) X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩;(2) X的方差D(X)是X的二阶中心矩;(3)协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.

五、协方差矩阵

c11?E{[X1?E(X1)]2},c22?E{[X2?E(X2)]2},将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩c12?E{[X1?E(X1)][X2?E(X2)]},c21?E{[X2?E(X2)][X1?E(X1)]}.?c11c12??排成矩阵的形式: ?，称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵. ?c?（对称矩阵）c?2122?

类似定义n维随机变量(X1,X2,?,Xn)的协方差矩阵.

若cij?Cov(Xi,Xj)?E{[Xi?E(Xi)][Xj?E(Xj)]}i,j?1,2,?,n都存在, 则称 ?c11c12?c?cC??2122????c?n1cn2?c1n???c2n?为(X1,X2,?,Xn)的协方差矩阵.

?????cnn??六、n维正态分布的概率密度

七、n维正态分布的几个重要性质

例题选讲： 协方差的性质

34

例1已知离散型随机向量(X,Y)的概率分布为，求cov(X,Y). Y 0 2 ?1X 0 0.1 0.2 0 1 2 0.3 0.15 0.05 0.1 0 0.1 ?8xy,0?x?y?1例2设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)??

0,其它?求cov(X,Y)和D(X?Y). 相关系数的性质

例3设(X,Y)的分布律为 X Y 1 4 P{X?xi} ?2 0 1/4 1/4 ?1 1/4 0 1/4 1 1/4 0 1/4 2 0 1/4 1/4 P{Y?yj} 1/2 1/2 1 易知E(X)?0,E(Y)?5/2,E(XY)?0,于是?XY?0,X,Y不相关. 这表示X,Y不存在事实上, X和Y具有关系: Y?X,Y的值完全可由X的值所确定.

例4设?服从[??,?]上的均匀分布, X?sin?, Y?cos?判断X与Y是否不相关, 是否独立.

例5已知X~N(1,32), Y~N(0,42), 且X与Y的相关系数?XY??.设Z?D(Z)及?XZ.

例6 设(X,Y)服从二维正态分布, 它的概率密度为 f(x,y)?12??1?2??(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2????1?exp??2?????, 2222?1?2?2??1????1???2(1??)??2线性关系. 但P{X??2,Y?1}?0?P{X??2}P{Y?1},知X,Y不是相互独立的.

12XY?, 求32求X和Y的相关系数?XY.

注：在上一章中我们已经得到：若(X,Y)服从二维正态分布, 那么X和Y相互独立的充要条件为??0. 现在知道?即为X与Y的相关系数, 故有下列结论:

“若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独, 立当且仅当X与Y不相关”.

n维正态分布的几个重要性质

例7设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),. Y~N(0,1)，试求Z?2X?Y?3的概率密度.

思考题

1. 对不同品牌的某种机械的两项重要指标评分, 设X1,X2为其所得分数(百分制). 已知

E(X1)?68.9,E(X2)?72.8; D(X1)?81,D(X2)?49; cov(X1,X2)?36.现以服从正态

97X1?X2来决定各参评品牌的名次.(1) 试求Y的分布; (2) 如果对综1616合分Y?85的品牌颁奖, 试计算获奖者的百分比. 分布的综合分Y?

35