学习目标 1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念. 3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一 全称量词与全称命题

全称量词 全称命题p 形式

判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”． 知识点二 存在量词与特称命题

存在量词 特称命题 形式

判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题． 思考 下列语句是命题吗？如果是命题，是不是特称命题？ (1)x能被2和5整除；

(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除． 答案 (1)不是命题；

(2)是命题．是特称命题，因为有存在量词“至少有一个”．

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ ) 3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．( × )

“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的” 含有存在量词的命题 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为存在x∈M，p(x) “所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部” 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意x∈M，p(x)

题型一 全称命题与特称命题的辨析

例1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1； (4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 考点 全称命题与特称命题的识别 题点 全称命题与特称命题的识别

解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

反思感悟 判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

跟踪训练1 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题． (1)对任意x∈R，x>0；

(2)有些无理数的平方也是无理数； (3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在x＝1，使方程x＋x－2＝0； (5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立； (6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立． 考点 全称命题与特称命题的识别 题点 全称命题与特称命题的识别

解 (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；

(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”． 题型二 全称命题与特称命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假．

(1)存在α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ； (2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

2

2

2

2

(4)存在一个实数x，使等式x＋x＋8＝0成立． 考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断 解 (1)真命题，例如α＝

ππ

，β＝，符合题意． 42

2

(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解． 反思感悟 1.判断全称命题真假的方法

(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真． (2)要判断一个全称命题为假，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． 2．判断特称命题真假的方法

(1)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真． (2)要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假． 所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系． 跟踪训练2 判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假． (1)每一个平行四边形的对角线都互相平分； (2)存在一个x∈R，使

1

＝0； x－1

(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A．

考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断

解 (1)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题． (2)是特称命题．不存在x∈R，使1

＝0成立，所以该命题是假命题． x－1

(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题． (4)是特称命题．存在A＝{3}，使A题型三 由含量词的命题求参数

例3 (1)已知关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围； (2)令p(x)：ax＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围． 考点 全称命题与特称命题的应用

题点 存在性问题与恒成立问题求参数的范围

解 (1)关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集非空，

2

2

2

2

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成立，所以该命题是真命题．