《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1

教学目标

1.知识与技能

掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律. 2.过程与方法

通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.

3.情感、态度与价值观

通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.

教学重点

空间向量坐标运算的规律.

教学难点

空间向量坐标运算的规律.

教学方法

通过观察.类比.思考.交流和讨论等.

教学过程

活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）

问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？

问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？

?a由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量

????????????????????1a1和?2a2，使a??1a1??2a2. 如果a1?a2时，这种分解就是平面向量的正交分解. ????????如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量i,j，则存在一对实数x、????a?xi?yjay，使得，即得到平面向量的坐标表示?(x,y).

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）

例4：如图：M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q分别MN的三等分点，用向量OA,OB,OC,表示OP和OQ

解略：书本P94页

今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．

点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 一、空间向量

类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？

??????(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量

?1a1、?2a2、?3a3，使a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两垂直，这种分解就是

空间向量的正交分解.

问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共

????????????????????????????????????????面向量a,b,c代替两两垂直的向量a1,a2,a3，你能得到类似的结

论吗？

???a1、 空间向量基本定理：如果三个向量,b,c不共面，那么

???????对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得p?xa?yb?zc. 把???{a,b,c}叫做空间的一个基底（base）；

???a,b,c都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示． 单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

练习：书本P94：1、2、3

????????????????2．1、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则（e1?e2）?(?3e1?2e2)3等于（ ）

A.-8 B.

95 C. ? D.8 22???????????2、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2?e1垂

3直的是（ ）

??????????????? A. e1?e2 B. e1?e2 C. e1 D. e2

BC中，设AB?a，BC?b，CA?c，若a(a?b)?0，则?ABC3、在?A（ ）

(A) 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判

定

??????????4、已知a和b是非零向量，且a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂??直，求a与b的夹角。

????????????5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且?????????????OA+OB+OC=0，求证：

?ABC 为正三角形

板书设计： 空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间向量的基本定理 例1： 例2： 2、空间向量的正交分解