课时跟踪检测(二十五) 平面向量的概念及其线性运算

第Ⅰ组：全员必做题

1．设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号) ①若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b ②若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

③若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa ④若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

2．(2013·徐州期中)设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

13．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB22

＋AC，则实数m的值为________． 9

1

4．(2013·南通期中)设D，P为△ABC内的两点，且满足AD＝(AB＋AC)，AP＝AD4S△APD1

＋BC，则＝________. 5S△ABC

5．(2014·南通期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3aBC＋4bCA＋5cAB＝0，则a∶b∶c＝________.

6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得

AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.

πab7．(2014·苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p＝＋，3|a||b|则|p|＝________.

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出1111

下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.

2222

其中正确命题的个数为________．

9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F

AF＝nAC，分别是边AB，AC上的点，若AE＝mAB，其中m，n∈(0,1)．设

EF的中点为M，BC的中点为N.

(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n； (2)若m＋n＝1，求|MN|的最小值．

10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝2

AD，AB＝a，AC＝b. 3

(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF； (2)求证：B，E，F三点共线．

第Ⅱ组：重点选做题

1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.

2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题 1．解析：对于①，可得

a，b＝－1，因此a⊥b不成立；对于②，满足a⊥b时|a

a，b＝－1，因此成立，而④显然不一定成立．

＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得

答案：③

2．解析：设M为边AC的中点．因为OA＋OC＝－2OB，所以点O是△ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为1∶2.

答案：1∶2

1

3．解析：如图，因为AN＝NC，

21

所以AN＝AC，

3

22

AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，因为B、P、N三点共线，

9321

所以m＋＝1，所以m＝. 331

答案： 3

4．解析：设E为边BC的中点．

1

由AD＝(AB＋AC)可知，

4

1

点D在△ABC的中线AE上，且AD＝AE，

211

由AP＝AD＋BC，得DP＝BC，

55S△APD111

利用平面几何知识知＝×＝.

S△ABC25101

答案： 10

5．解析：在△ABC中有BC＋CA＋AB＝0， 又3aBC＋4bCA＋5cAB＝0，消去AB得 (3a－5c) BC＋(4b－5c) CA＝0， 从而3a－5c＝0,4b－5c＝0， 故a∶b∶c＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶12

6．解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心， 连结AM并延长交BC于D， 2

则AM＝AD，

3因为AD为中线，

则AB＋AC＝2AD＝3AM， 所以m＝3. 答案：3

ab

7．解析：和分别表示与a，b同向的单位向量，

|a||b|π

所以长度均为1.又二者的夹角为，

3故|p|＝ 答案：3 1

8．解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC

21

＝－a－b，故①错；

2

11

BE＝BC＋CA＝a＋b，故②错；

2211

CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)

22

π1＋1＋2×1×1×cos＝3.

3