高中数学新课程创新教学设计案例50篇35-39 - 平面向量及其应用-南京廖华答案网

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36 向量的概念

教材分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．

教学目标

1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．

2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．

教学设计

一、问题情景

数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：

1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．

2. 既有大小又有方向的量应如何表示？二、建立模型 1. 学生分析讨论

学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……

引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2. 教师明晰

人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速

度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．

在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如就是向量

的长度（模），记作

，向量

的大小.长度等于

.长度为零的向量叫零向量，记作0或

1的向量叫作单位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．

任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”． 3. 提出问题，组织学生讨论

（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？（2）两个单位向量一定相等吗？（3）相等向量是平行向量吗？

（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？

（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．

三、解释应用［例题］

如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与线的向量，以及单位向量．

相等、平行和共

解：

都是单位向量．

［练习］

1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．

2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？

3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于

，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．

5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．（2）方向东南，8km／h的风的速度．（3）向量四、拓展延伸

1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等

的向量是哪些？为什么？

2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？