概率论与数理统计复习

第一章 概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(?):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算

1.A?B(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生. 2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生. 3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生. 4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.

5. AB=? (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.

6. AB=?且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .

运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 A?B?A?B A?B?A?B 三. 概率的定义与性质

1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;

(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),

P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+… 2.性质

(1) P(?) = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .

(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n ,

P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A?B, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .

(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n个事件A1,A2,…,A n

P?A1?A2???An???P?Ai??i?1n1?i?j?n?PAiAj???1?i?j?k?n?PAiAjAk?

??…+(-1)n-1P(A1A2…A n)

四.等可能(古典)概型

1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率

1.定义 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).

P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1) (n≥2, P(A1A2…A n-1) > 0) 3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) ,则 当P(B i)>0时,有全概率公式 P(A)=?P?Bi?PABi

i?1n??P?Bi?P?ABi?P?ABi??n当P(A)>0, P(B i)>0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)= .

P?A??P?Bi?P?ABi?i?1六.事件的独立性

1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件. (1)两个事件A,B相互独立? P(B)= P (B|A) .

(2)若A与B,A与B,A与B, ,A与B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立. 2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立. 3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1

PAiAi?Ai?PAiPAi?PAi,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立.

12k12k????????第二章 随机变量及其概率分布

一.随机变量及其分布函数

1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量. 2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数. 其性质为:

(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1

1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤Pk≤1 ; (2)归一性 ?pk?1 .

k?1?2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=?Pk为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,

Xk?x其跳跃值为p k=P{X=x k} .

3.三种重要的离散型随机变量的分布

(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0

?n?kn?k???(2)X~b(n,p)参数为n,p的二项分布P{X=k}=?(k=0,1,2,…,n) (00)

k!三.连续型随机变量

1.定义 如果随机变量X的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=???f?t?dt,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).

x