中南大学网络教育(高起专)高等数学习题答案 下载本文

26.解:∵A、B相互独立, ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 27.解: A、B互不相容,则P(AB)=0,P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8 28.解:设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”,则三次射击中恰有一次击中目标可

表示为ABC?ABC?ABC,即有

P(ABC?ABC?ABC)=P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)=0.36

29.解:P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9 P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3 30.解:P(A+B)=1–P(A?B)?1?P(AB)?1?p

二、单项选择题:

1.解:利用奇偶函数的定义进行验证。

a?x?1a?x(1?ax)ax?1f(?x)?(?x)?x??x?x?xx?f(x) 所以B正确。 xa?1a(1?a)a?12.解:因为x?211121122?x?2??2?(x?)?2f(x?)?(x?)?2 ,所以22xxxxx则f(x)?x2?2,故选项B正确。

3.解:由于f(x)?x?1,得f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1=f(x)?2

将f(x)?x?1代入,得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案:D

?x21?a?x2??a?b?x?b?ax?b)?lim?0 4.解:?lim(x??x?1x??x?1?1?a?0,a?b?0,?a?1,b??1 答案:C

5.解:无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量,所以 limsinx?0

x??x而A、C、D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。

116.解:?limxsin?limsinx??xx??x不选B;取xn?11??1?n?1,故不选A;取m?2k?1,则limn?lim?0,故

n??k??2k?1x,则limn??1n???211cos?0,故不选D。 答案:C xnxn1?0,f(0)?0,因此f(x)在x?0处连续。 xf(x)?limx?0,limf(x)?limxsin7.解:lim????x?0x?0x?0x?0 11

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)?limx?0?x?0xsin1?01x?(0)不存在,,此极限不存在,从而f??limsin?x?0x?0x故f?(0)不存在 答案:B

8.解:由导数的定义和它的几何意义可知:y?(1)?(x?x)?x?13?(3x2?1)x?1?2,是曲线y?x3?x在

点(1,0)处的切线斜率,故切线方程是y?0?2(x?1),即y?2x?2 答案:A 9.解:直接利用导数的公式计算:y??(14x)??x3, y???(x3)??3x2 答案:B 410.解:先求出f(x),再求其导数。 答案:D 11.解:z的定义域为(x,y)x2?y2?0}个。 答案:D

12.解:A.当P沿x?0时,limf(0,y)?0,当P沿直线y?0时,limf(x,0)?1,故limy?0x?0x?0y?0?x不存在; x?y1x2B.lim 不存在; ??,不存在; C.如判断题中1 题可知lim x?0x?yx?0x?yy?0y?0D.因为lim xsinx?0y?011?0。 答案:D ?limx?0,所以limxsinx?0x?yx?yx?0y?0y?013.解:因f(x)为偶函数,则f?(x)为奇函数,f??(x)为偶函数,故应选C。

14.解:因为f(x)是奇函数,故f(?x)??f(x),两边求导?f?(?x)??f?(x),从而f?(x)?f?(?x),

设x?0,则?x?0,从而f?(x)?f?(?x)?0,所以f(x)在[-10,-1]上单调增加,故最大值为f(?1) 答案:B

??x?2?fx?0???? f?0y??2?y??15.解:fx?4?2x,fy??4?2y,???20?H??? H?0 ?2?0,f(2,?2)?8为极大值 答案:A

?0?2?16.解:根据周期函数定积分的性质有

17.解:所求旋转体的体积为

? l?T lf(x)dx??f(x)dx 故应选D。

0 T 12

V???ydx???sinxdx????00?2?3?0cos3x?4(1?cosx)dcosx???[cosx?]0??

332 答案:B

?418.解:利用定积分的奇偶性质知M?0,N?2?2 0cosxdx?0,P??2?2cos4xdx?0,所以

0 ?P?M?N 答案:D

19.解:答案:B

14?0???2?32?2232320.解:D:? I??0d??0(1?r)rdr????(1?r)4?0?r?22?0

0121.解:由极坐标,原极限?lim3t?0?t??0d??0rf(r)dr?tlim?0?2?t2??0rf(r)drt?t3?2f(t)lim??? 3t?0t?22.解:答案:B

?aa2a22a23.解:因为(?1)(1?cos)?2sin,而?2收敛,因此原级数绝对收敛。故答案:A ?n2n2n2n?12nnn?(?a)nn(x?a)24.解:由于?(?1)收敛,由此知a?1。当?1?a?1时,由于?(?1)的收敛半径为

nnn?1n?1?n1,因此该幂级数在区间(a?1,a?1)内收敛,特别地,在(0,a?1)内收敛,此与幂级数在x?0时

发散矛盾,因此a??1。 答案:B

25.解:答案:C 26.解:答案:B 27.解:答案:C 28.解:答案:D 29.解:答案:C 30.解:答案:B 31.解:答案:A

4132.解:基本事件总数为C8,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为C5=5,

故P(A)=

5。 答案:D C8433.解:由题可知A1、A2互斥,又0

所以 P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 答案:C

三、解答题:

f(x)?limf(x)成立,limf(x)?lim1.解:(1)要f(x)在x?0处有极限存在,即要lim????x?0x?0x?0x?0sinx?1。 xf(x)?lim(xsin因为lim??x?0x?01f(x)?limf(x)成立,即?b)?b,所以当b?1时,有lim??x?0x?0xb?1时,函数在x?0处有极限存在,又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无

关,所以此时a可以取任意值。

f(x)?f(x0) (2)依函数连续的定义知,函数在某点处连续的充要条件是lim?f(x)?lim?x?x0x?x0 13

于是有b?1?f(0)?a,即a?b?1时函数在x?0处连续。

x3?ax2?b?8 ?lim?x3?ax2?b??8?4a?b?0,即b??8?4a 2.解:?limx?2x?2x?2x3?ax2?bx3?ax2?4a?8?lim?lim?limx2??a?2?x?2a?4?4a?12?8 x?2x?2x?2x?2x?2???a??1 故b??4

3.解:f(x)在??1,0?,?0,1?,?1,???内连续,lim?ex?11x?11x?1??,lime?x?11x?1?0,f?0??0,因此x?1是f(x)f?x??lime的第二类无穷间断点;lim??x?0x?0?e?1,lim?f?x??lim?ln?1?x??0,因此x?0是

x?0x?0f(x)的第一类跳跃间断点。

4.解:(1)方程两边对自变量x求导,视y为中间变量,即 (xy)??(ex)??(ey)??1?

ex?y y?xy??e?ey??0 (x?e)y??e?y 整理得 y??x?eyxyyx(2)y??cos(x?y)?(1?y?)?cos(x?y)

1?cos(x?y)y????sin(x?y)?(1?y?)2?cos(x?y)?y??

y????sin(x?y)?y? 33[1?cos(x?y)][1?cos(x?y)]z?y5.解:设 F(x,y,z)?e?z?x Fx??1 Fy??ez?y Fz?ez?y?1

?z1?zez?y1?z?y ?z?y?y?z?xe?1?ye?11?e?2z?1?ey?z?ze2(y?z) ??()???y?zy?z2y?z3?y?x?x1?e(1?e)?x(1?e)

6.解:

设 F(x)?f(x)?x, 在 [0 ,1] 上用零点定理,得 F(x) 至少有一个零点。反设 F(x) 在 [0 ,1] 上存在两个零点c1,c2,即F(c1)?F(c2)?0,?[c1,c2]? [0 ,1] ,由Rolle定理可得至少有??(c1,c2) ,使 F?(?)?0 即 f?(?)?1?0?f?(?)?1,与题设矛盾,故在 (0 ,1) 内有且只有一个x, 使 f(x)?x。

14

?1)?(?1,??) 7.解:函数y?x2(1?x)?1的定义域是(??,x(2?x)2x(1?x)?x2 ??y??2x(1?x)?x(?1)(1?x)?(1?x)2(1?x)2?12?2令 y?? x(2?x)?0,得驻点x1??2 x2?0 2(1?x)(??,?2) + -2 0 极大值 (?2,?1)?(?1,0) - 0 0 极小值 (0,??) + f?(x) f(x) ?2)和(0,??),单调减少区间是(?2,?1)及(?1,0),当x?-2故函数的单调增加区间是(??,时,极大值f(?2)??4;当x?0时,极小值f(0)?0。

8.解:设平面方程为Ax?By?Cz?1,其中A、B、C均为正,则它与三坐标平面围成四面体的体积为

V?11,且A?3B?6C?1,令F(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1),则由

6ABC??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??, 求得?B?,由于问题存在最小值,因此所求平面方程为 ??A9??F??AB?6??01??C??A??18??A?3B?6C?1?xyz1???1,且Vmin??3?9?18?81。 39186b229.解(1):

???1x131dx?limb???1?b1dx?limx31b???13??1x313?lim(b3?1) 极限不存在,则积分发散。 b???212(2):f(x,y)?a2?x2?y2是D上的半球面,由I???a2?x2?y2d?的几何意义知 I=V半球=?a3。

3D(3):关于x轴对称,且f(x,y)?y是关于y的奇函数,由I几何意义知,? ??yd??0。

D 15