...
?1?1|cos?D?E，A?D?|?232?．
2?26点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。
[例12]多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面?内，其余顶点在?的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面?的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号） 解析：如图，B、D、A1到平面?的距离分别为1、
2、4，则D、A1的中点
到平面?的距离为3，所以D1到平面?的距离为6；B、DC1
1 A1的中点到平面?的距离为
5，所以B1到平面?的距离为5；则DA1
B1
2、B的中点到平面?的距离为
3D
C 2，所以C到平面?的距离为3；C、A1的中点到平面?的距离为
7B
2，所以C1到平面?的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一
?A 点，所以选①③④⑤。 点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。
[例13]（1）画出下列几何体的三视图
解析：这二个几何体的三视图如下
（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 [例14]某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
...
（
...
解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
二、空间几何体的表面积和体积
1．多面体的面积和体积公式：
名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S侧) 直截面周长×l ch 各侧面积之和 全面积(S全) S侧+2S底 体 积(V) S底·h=S直截面·h S底·h 1ch′ 2各侧面面积之和 S侧+S底 1S底·h 31h(S上底+S下底3+S下底?S下底) 1 (c+c′)h′ 2S侧+S上底+S下底 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式： 名称 S侧 S全 V 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πrh(即πrl) 22圆锥 πrl πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r1+r2) 22球 4πR 212πrh 3122πh(r1+r1r2+r2) 343πR 3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。
3．探究柱、锥、台的体积公式：
1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体?Sh．
2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S，高为h的棱柱的体积V棱锥?Sh，所以V锥体?1Sh． 33、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S?，S，高为h，可以推得它的体积是V台体?1h(S?SS??S?)． 34、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：
...
...
11V柱体?Sh?(S??S)V台体?h(S?SS??S?)(S??0)?V锥体?Sh．
334．探究球的体积与面积公式：
1．球的体积：
（1）比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积 结论：
（2）利用“倒沙实验”，探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系（课件演示） 结论：
12232V球?V圆柱?V圆锥??R2?R?1?R?R??R33V圆锥?V半球?V圆柱（3）得到半径是Ｒ的球的体积公式：
结论：
2．球的表面积：
由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?（课件演示）
3V球?4?R3?SiO ?ViO 图1
（1）若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近
似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.
（2）若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. （3）半径为R的球的表面积公式：
结论： S
例题讲解：
[例1]一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得：?2?4?R球(1)?2(xy?yz?zx)?20
(2)?4(x?y?z)?24由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16
所以l=4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
[例2]如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠
...
...
A1AD=
?。 3（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。
图1 图2 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N， 从而OM=ON。
∴点O在∠BAD的平分线上。 （2）∵AM=AA1cos
?13=3×=
223AM3∴AO==2。
?2cos4又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－
99=， 22∴A1O=
3232?302。 ，平行六面体的体积为V?5?4?22[例3]一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体对角线的长是（ ） A．2
3
B．3
2
C．6 D．
6
解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝
2，c＝3，则对角线l的长为l=a2?b2?c2?6；
答案D。
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
[例4]如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。
解析：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴S△AEF=
1S, 4V1=
1171h(S+S+S?)=Sh 34124
...
...
V2=Sh-V1=
5Sh， 12∴V1∶V2=7∶5。
点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3：锥体的体积和表面积
[例5]（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，
P ?∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60?，求四棱锥P－ABCD解析：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，
于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为∴四棱锥P－ABCD的体积V=
E A B 23。
O 的体积？
ABCD,得∠PBO是C D 1×23×3=2。 3点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 [例6]（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5
5。（如图所示）
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。 解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC。 又AB∩AC=A， ∴SA⊥平面ABC。
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。 （Ⅱ）∵BC⊥AC，SC⊥BC。
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。 在Rt△SCB中，BC=5，SB=5
图 5，得SC=SB2?BC2=10。
AC51??， 在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=
SC102∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。 （Ⅲ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=SC2?AC2?102?52?75， S△ABC=
2511·AC·BC=×5×5=，
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