2019整理人教版高中数学必修2_全册教案 (1).doc 下载本文

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?1?1|cos?D?E,A?D?|?232?.

2?26点评:考查知识立足课本,对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高,体现了加强能力考查的方向。

[例12]多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面?内,其余顶点在?的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面?的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7

以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号) 解析:如图,B、D、A1到平面?的距离分别为1、

2、4,则D、A1的中点

到平面?的距离为3,所以D1到平面?的距离为6;B、DC1

1 A1的中点到平面?的距离为

5,所以B1到平面?的距离为5;则DA1

B1

2、B的中点到平面?的距离为

3D

C 2,所以C到平面?的距离为3;C、A1的中点到平面?的距离为

7B

2,所以C1到平面?的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一

?A 点,所以选①③④⑤。 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于难得的综合题目。

[例13](1)画出下列几何体的三视图

解析:这二个几何体的三视图如下

(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 [例14]某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

...

...

解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积

1.多面体的面积和体积公式:

名称 棱 柱 棱 锥 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S侧) 直截面周长×l ch 各侧面积之和 全面积(S全) S侧+2S底 体 积(V) S底·h=S直截面·h S底·h 1ch′ 2各侧面面积之和 S侧+S底 1S底·h 31h(S上底+S下底3+S下底?S下底) 1 (c+c′)h′ 2S侧+S上底+S下底 表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式: 名称 S侧 S全 V 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πrh(即πrl) 22圆锥 πrl πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r1+r2) 22球 4πR 212πrh 3122πh(r1+r1r2+r2) 343πR 3表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径,R表示半径。

3.探究柱、锥、台的体积公式:

1、棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到,因此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积.

柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体?Sh.

2、类似于柱体,底面积相等、高也相等的两个锥体,它们的体积也相等.棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到,由于底面积为S,高为h的棱柱的体积V棱锥?Sh,所以V锥体?1Sh. 33、台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算.如果台体的上、下底面面积分别为S?,S,高为h,可以推得它的体积是V台体?1h(S?SS??S?). 34、柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下:

...

...

11V柱体?Sh?(S??S)V台体?h(S?SS??S?)(S??0)?V锥体?Sh.

334.探究球的体积与面积公式:

1.球的体积:

(1)比较半球的体积与其等底等高的旋转体的体积 结论:

(2)利用“倒沙实验”,探索底面半径和高都为球半径的圆柱、圆锥与半球三者体积之间的关系(课件演示) 结论:

12232V球?V圆柱?V圆锥??R2?R?1?R?R??R33V圆锥?V半球?V圆柱(3)得到半径是R的球的体积公式:

结论:

2.球的表面积:

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面积无法利用展开图来求.该如何求球的表面积公式?是否也可借助分割思想来推导呢?(课件演示)

3V球?4?R3?SiO ?ViO 图1

(1)若将球表面平均分割成n个小块,则每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近

似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.

(2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. (3)半径为R的球的表面积公式:

结论: S

例题讲解:

[例1]一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

解析:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得:?2?4?R球(1)?2(xy?yz?zx)?20

(2)?4(x?y?z)?24由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)-(1)得x2+y2+z2=16 即l2=16

所以l=4(cm)。

点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。

[例2]如图1所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠

...

...

A1AD=

?。 3(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1 图2 解析:(1)如图2,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN,

∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

?13=3×=

223AM3∴AO==2。

?2cos4又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12 – AO2=9-

99=, 22∴A1O=

3232?302。 ,平行六面体的体积为V?5?4?22[例3]一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6,这个长方体对角线的长是( ) A.2

3

B.3

2

C.6 D.

6

解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b=

2,c=3,则对角线l的长为l=a2?b2?c2?6;

答案D。

点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

[例4]如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1∶V2= ____ _。

解析:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点,

∴S△AEF=

1S, 4V1=

1171h(S+S+S?)=Sh 34124

...

...

V2=Sh-V1=

5Sh, 12∴V1∶V2=7∶5。

点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型3:锥体的体积和表面积

[例5](2006上海,19)在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,

P ?∠DAB=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60?,求四棱锥P-ABCD解析:(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°。

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是PO=BOtan60°=3,而底面菱形的面积为∴四棱锥P-ABCD的体积V=

E A B 23。

O 的体积?

ABCD,得∠PBO是C D 1×23×3=2。 3点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 [例6](2002京皖春文,19)在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且AC=BC=5,SB=5

5。(如图所示)

(Ⅰ)证明:SC⊥BC;

(Ⅱ)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积VS-ABC。 解析:(Ⅰ)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°, ∴SA⊥AB,SA⊥AC。 又AB∩AC=A, ∴SA⊥平面ABC。

由于∠ACB=90°,即BC⊥AC,由三垂线定理,得SC⊥BC。 (Ⅱ)∵BC⊥AC,SC⊥BC。

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。 在Rt△SCB中,BC=5,SB=5

图 5,得SC=SB2?BC2=10。

AC51??, 在Rt△SAC中AC=5,SC=10,cosSCA=

SC102∴∠SCA=60°,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。 (Ⅲ)解:在Rt△SAC中,

∵SA=SC2?AC2?102?52?75, S△ABC=

2511·AC·BC=×5×5=,

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