...

CC??6，AC?2?6?23，

设球半径为R， 则R?OC?CC?

22 ?(6)?(3)?9

222∴R?3，

∴S球?4?R2?36?，V球?4?R3?36?。 3点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。 [例18]（1）表面积为324?的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。

（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。

解析：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，

则作轴截面如图，AA??14，AC?又∵4?R?324?，∴R?9， ∴AC?22a，

AC?2?CC?2?82，∴a?8，

∴S表?64?2?32?14?576 （2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H ...

...

由题设

AG?AE2?GE2?6a 3∵ △AOF∽△AEG ∴

6a?RR6?3a ，得R?1233aa626a?2R?r6r3a ∵ △AO1H∽△AOF ∴ ?，得r?24R6a?R3∴ V球O1434?6?63????r???aa ?33?241728??3

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。

[例19]（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km） （2）在半径为13cm的球面上有A,B,C三点，AB?BC?AC?12cm，求球心到经过这三点的截面的距离。 解析：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半∴OK?AK，

设C是北纬40的纬线长， ∵?AOB??OAK?40， ∴

...

径，

...

C?2??AK?2??OA?cos?OAK?2??OA?cos40

?2?3.14?6370?0.7660?3.066?104(km)

答：北纬40纬线长约等于3.066?10km． （2）解：设经过A,B,C三点的截面为⊙O?， 设球心为O，连结OO?，则OO??平面ABC， ∵AO??432?12??43， 23∴OO??OA2?OA?2?11， 所以，球心到截面距离为11cm．

[例20]在北纬45圈上有A,B两点，设该纬度圈上A,B两（R为地球半径），求A,B两点间的球面距离。

点的劣弧长为

2?R4解析：设北纬45圈的半径为r，则r?2R，设O?为4北纬45圈的圆心，

?AO'B??，

∴?r?∴??222?R，∴R???R， 424，∴AB??22r?R，

∴?ABC中，?AOB??3，

所以，A,B两点的球面距离等于

?3R．

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面

距离。

第一章 检测题

1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（ ） A．13+1 B．26 C．18 D．14 2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ）

222 2

A．8R B． 9R C．10R D．12R

3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ ）

...

...

A． 10cm B． 52cm C． 5?2?1cm D．52??4cm

24．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍

5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．1

2

43倍 D．1倍 546．正方体的全面积是a,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A．

B． C． D．

327．两个球的表面积之差为48?,它们的大圆周长之和为12?,这两个球的半径之差为（ ）

A．4 B． 3 C． 2 D． 1

8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A．

1323 53113

a B．a C．a D．a 23612?a2?a29.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A． B．

18125 C． D． 24244810.棱锥V-ABC的中截面是?A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（ ）

A．1：2 B． 1：4 C．1：6 D．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ）

A．1：32 B．1：24 C．1：64 D． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ）

A．2：3 B．4：9 C．2:3 D．8:27 13．棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（ ） A． 4?a B．

3

22?333a C．?a D．?a 43414．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________．

15．E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A-BCE（A，D重合）， 则此三棱锥的体积为____________．

16.直三棱柱ABC?A?B?C?的体积是V，D、E分别在AA?、BB?上，线段DE经过矩形ABB?A?的中心，则四棱锥C-ABED的体积是________________．

17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________． 18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少?

19．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．

O1A C B...

O...

0

20．圆锥轴截面为顶角等于120的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S和体积V．

21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体， E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积． 答案：

V31.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.C; 8.C; 9.B; 10.B; 11.C; 12.B; 13.C; 14. 6?R2; 15. ; 16. ; 17.

33485?cm;

318. 如图 ,SAB是圆锥的轴截面, 其中SO=12, OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x , 由?SO1C与?SOB相似, 则

SO1O1C?SOOB,SO1?SOOB,O1C?125x.

? OO1=SO-SO1=12-

12x,则圆柱的全面积S=S侧+2S底5752x).则当x?=2?(12?125x)x?2?x?2?(12x?2207cm时,S取到最大值

3607?cm．

219. 解：?AB2+BC2=AC2， ??ABC为直角三角形， ??ABC的外接圆O1的半径r=15cm， 因圆O1即为平面ABC截球O所得的圆面，因此有R2=（ ?R=300，?S球=4?R=1200?（cm）.

20. 解:设母线长为?, 当截面的两条母线互相垂直时, 有最大的截面面积. 此时, 1底面半径r?23,高h?2.则S全=?r2??r??4(3?23)?,V??r2h?8?.

312??8,???4, 22

2

2

R2）2+152，

21. 解：EB?BF?FD1?D1E?a252a?()?a,?四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则?EFB22??EFD1，

?VA1?EFB?VA1?EFD1,?CC1||平面ABB1A1，

? 三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a，

111S?EBA?1A1E?AB?1?a?a?1a2.?VA?EFB?VF?EBA??a2?a?a3.

12224113412?VA?EBFD?2VA?EFB?11113a. 6

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