答：这个说法是错误的。

反例 ：

?0,1?紧致但?0,1?不紧致。

1三、证明题（每题10分，共50分）

?x,x?01、规定f:E\\?0,1??E为f?x???，证明f是连续映射，但不是同

?x?1x?11胚映射。 证明：由于

f限制在???,0?与

1?1,???上连续，由粘接引理，f?1?1连续。但

f?1不连续，

如???,0?是E1\\?0,1?的闭集，但f??????,0????f?????,0??????,0?不是E的闭集，所以

f不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。 证明：设

X是Hausdorff空间，Y是X的任一子空间，需证Y是Hausdorff空

间。?x,y?Y，由得UX是Hausdorff空间，所以存在x,y在X的开邻域U、V使

?V??，U?Y是

x在Y中开邻域，V?Y是

y在Y中开邻域，

?U?Y???V?Y??U?V?Y??，故Y是Hausdorff空间。

3、证明：从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。 证明：要证明所以

f?1:Y?X连续，只需证

f是闭映射，设

A是X的闭子集紧致，

的紧致

A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以f?A?是Y子集，又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集，所以4、设

f?A?是Y的闭集。

X0是X的既开又闭的子集，

A是X的连通子集，则或者

A?X0??或者

A?X0。

证明：

A?X0是A的既开又闭的子集，由于A连通，则或者A?X0??或者

A?X0?A即A?X0。

5、证明：道路连通性具有可乘性质。

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证明：设

?x0,y0?是?x1,y1?是X?Y中两点，X和Y都是道路连通，则有X中道

y0,y1为起始点，作X?Y中道路c路a，以x0,x1为起始点，又有Y中道路b，以为：

c?t???a?t?,b?t??，?t?I，则c连接?x0,y0?和?x1,y1?，所以道路连通性具有

可乘性质。

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