点集拓扑学期末考试练习题(含答案) 下载本文

答:这个说法是错误的。

反例 :

?0,1?紧致但?0,1?不紧致。

1三、证明题(每题10分,共50分)

?x,x?01、规定f:E\\?0,1??E为f?x???,证明f是连续映射,但不是同

?x?1x?11胚映射。 证明:由于

f限制在???,0?与

1?1,???上连续,由粘接引理,f?1?1连续。但

f?1不连续,

如???,0?是E1\\?0,1?的闭集,但f??????,0????f?????,0??????,0?不是E的闭集,所以

f不是同胚映射。

2、证明:Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。 证明:设

X是Hausdorff空间,Y是X的任一子空间,需证Y是Hausdorff空

间。?x,y?Y,由得UX是Hausdorff空间,所以存在x,y在X的开邻域U、V使

?V??,U?Y是

x在Y中开邻域,V?Y是

y在Y中开邻域,

?U?Y???V?Y??U?V?Y??,故Y是Hausdorff空间。

3、证明:从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。 证明:要证明所以

f?1:Y?X连续,只需证

f是闭映射,设

A是X的闭子集紧致,

的紧致

A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致,所以f?A?是Y子集,又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集,所以4、设

f?A?是Y的闭集。

X0是X的既开又闭的子集,

A是X的连通子集,则或者

A?X0??或者

A?X0。

证明:

A?X0是A的既开又闭的子集,由于A连通,则或者A?X0??或者

A?X0?A即A?X0。

5、证明:道路连通性具有可乘性质。

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证明:设

?x0,y0?是?x1,y1?是X?Y中两点,X和Y都是道路连通,则有X中道

y0,y1为起始点,作X?Y中道路c路a,以x0,x1为起始点,又有Y中道路b,以为:

c?t???a?t?,b?t??,?t?I,则c连接?x0,y0?和?x1,y1?,所以道路连通性具有

可乘性质。

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