平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

(25分钟 60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.(2015·朔州高一检测)已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为

( )

A.

B.

C.

D.

，

【解析】选C.设a与b夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ=因为a=(2，3)，b=(-4，7)，

所以a·b=(2，3)·(-4，7)=2×(-4)+3×7=13， |b|=

所以|a|cosθ=

==.

，

2.以下选项中，一定是单位向量的有( ) ①a=(cosθ，-sinθ)；②b=(③c=(

，1)；④d=(1-x，x).

B.2个

C.3个

D.4个

，

)；

A.1个

【解题指南】解答本题，一方面要注意向量模的坐标公式的应用，另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用. 【解析】选B.因为|a|=1，|b|=1，

|c|=|d|=

=

=

>1，

=≥.

所以a，b是单位向量，c不是单位向量，d不一定是单位向量.

3.(2015·福建高考)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb，若b⊥c，则实数k的值等于( ) A.-

B.-

C.

D.

【解析】选A.c=a+kb=(1+k，2+k)，因为b⊥c，所以b·c=0，即1+k+2+k=0?k=-.

【补偿训练】(2015·温州高一检测)已知a=(-3，2)，b=(-1，0)向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为( ) A.-

B.

C.-

D.

【解析】选A.向量λa+b=(-3λ-1，2λ)，a-2b=(-1，2)，因为两个向量垂直，故有(-3λ-1，2λ)·(-1，2)=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=-.

4.设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且a⊥c，b∥c，则|a+b|=( ) A.

B.

C.2

D.10

【解析】选B.由a⊥c得2x+1×(-4)=0，所以x=2；由b∥c得1×(-4)=2y，所以y=-2.从而a=(2，1)，b=(1，-2)，所以a+b=(3，-1)，所以|a+b|=

=

.

5.(2015·景德镇高一检测)已知平面向量a=(2，4)，b=(-1，2)，若c=a-(a·b)b，则|c|等于( ) A.4

B.2

C.8

D.8

【解析】选D.a·b=2×(-1)+4×2=6，所以c=(2，4)-6(-1，2)=(8，-8)， 所以|c|=

=8

.

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则cosθ=________. 【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，则a·b=6.

又|a|=3答案：1

，|b|=，所以cosθ===1.

【一题多解】本题还可以采用以下方法 由已知得：b=(1，1).

又a=(3，3)，所以a∥b，且同向. 故θ=0°，cosθ=1. 答案：1

7.(2015·南平高一检测)已知a=(1，3)，b=(2+λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.

【解析】设向量a与b的夹角为θ， 因为θ为锐角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，

即a·b>0，且a与b方向不同， 由a·b>0，得1×(2+λ)+3×1=λ+5>0， 所以λ>-5.

当a与b方向相同时设b=μa， 即(2+λ，1)=μ(1，3)，

所以解得故λ≠-.

所以λ∈答案：

∪∪

.

【误区警示】解答本题易因思考不全面，误认为a与b的夹角θ为锐角?cosθ>0，导致错误.实际上，当a与b同向时，即a与b的夹角为0°时，cosθ=1>0，此时λ=-，显然是不合理的.

【补偿训练】已知a=(-2，-1)，b=(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________. 【解析】由题意cosα=

=

，

因为90°<α<180°，所以-1

<0，

所以

即即

所以λ的取值范围是答案：

∪(2，+∞)

∪(2，+∞).

8.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则【解析】以点B为原点，以1)，D(2，2)，B(0，0)，所以

，

·=________.

的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，=(2，-1)，

=(2，2)，所以

·

=2.