平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·朔州高一检测)已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为
( )
A.
B.
C.
D.
,
【解析】选C.设a与b夹角为θ,则a在b方向上的投影|a|cosθ=因为a=(2,3),b=(-4,7),
所以a·b=(2,3)·(-4,7)=2×(-4)+3×7=13, |b|=
所以|a|cosθ=
==.
,
2.以下选项中,一定是单位向量的有( ) ①a=(cosθ,-sinθ);②b=(③c=(
,1);④d=(1-x,x).
B.2个
C.3个
D.4个
,
);
A.1个
【解题指南】解答本题,一方面要注意向量模的坐标公式的应用,另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用. 【解析】选B.因为|a|=1,|b|=1,
|c|=|d|=
=
=
>1,
=≥.
所以a,b是单位向量,c不是单位向量,d不一定是单位向量.
3.(2015·福建高考)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值等于( ) A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.c=a+kb=(1+k,2+k),因为b⊥c,所以b·c=0,即1+k+2+k=0?k=-.
【补偿训练】(2015·温州高一检测)已知a=(-3,2),b=(-1,0)向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( ) A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.向量λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),因为两个向量垂直,故有(-3λ-1,2λ)·(-1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.
4.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4)且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A.
B.
C.2
D.10
【解析】选B.由a⊥c得2x+1×(-4)=0,所以x=2;由b∥c得1×(-4)=2y,所以y=-2.从而a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|=
=
.
5.(2015·景德镇高一检测)已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,则|c|等于( ) A.4
B.2
C.8
D.8
【解析】选D.a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), 所以|c|=
=8
.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cosθ=________. 【解析】b=a+(-1,-1)=(1,1),则a·b=6.
又|a|=3答案:1
,|b|=,所以cosθ===1.
【一题多解】本题还可以采用以下方法 由已知得:b=(1,1).
又a=(3,3),所以a∥b,且同向. 故θ=0°,cosθ=1. 答案:1
7.(2015·南平高一检测)已知a=(1,3),b=(2+λ,1),且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是__________.
【解析】设向量a与b的夹角为θ, 因为θ为锐角,所以cosθ>0,且cosθ≠1,
即a·b>0,且a与b方向不同, 由a·b>0,得1×(2+λ)+3×1=λ+5>0, 所以λ>-5.
当a与b方向相同时设b=μa, 即(2+λ,1)=μ(1,3),
所以解得故λ≠-.
所以λ∈答案:
∪∪
.
【误区警示】解答本题易因思考不全面,误认为a与b的夹角θ为锐角?cosθ>0,导致错误.实际上,当a与b同向时,即a与b的夹角为0°时,cosθ=1>0,此时λ=-,显然是不合理的.
【补偿训练】已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为________. 【解析】由题意cosα=
=
,
因为90°<α<180°,所以-1 <0, 所以 即即 所以λ的取值范围是答案: ∪(2,+∞) ∪(2,+∞). 8.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则【解析】以点B为原点,以1),D(2,2),B(0,0),所以 , ·=________. 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,2),E(2,=(2,-1), =(2,2),所以 · =2.