高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时提升作业1 新人教A版必修4 下载本文

(2)若a∥b,求|a-b|.

【解析】(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,即x-2x-3=0,解得x=-1或x=3. (2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,即x(2x+4)=0.解得x=0或x=-2. 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0), |a-b|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|=2. 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2), |a-b|=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)|=2

.

2

10.(2015·南昌高一检测)设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5), (1)试求向量2(2)若向量(3)求向量

与在

+

的模.

的夹角为θ,求cosθ. 上的投影.

【解析】(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5), 所以

=(0,1)-(1,0)=(-1,1),

=(2,5)-(1,0)=(1,5), 所以2所以|2

++

=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7), |==(-1,1),

=5

.

(2)由(1)知所以cosθ=

=(1,5), =

.

,而|

|=

,所以向量

上的投影为

(3)由(2)知向量|

|cosθ=

×

=

的夹角的余弦为cosθ=

.

(20分钟 40分)

一、选择题(每小题5分,共10分) 1.(2015·肇庆高一检测)已知向量则点P的坐标是( ) A.(-3,0) C.(3,0)

B.(2,0)

D.(4,0)

=(2,2),

=(4,1),在x轴上有一点P使

·

有最小值,

【解析】选C.设点P的坐标为(x,0),则(-1)=x-6x+10=(x-3)+1.当x=3时,

2

2

=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×

·有最小值1,所以点P的坐标为(3,0).

·

【补偿训练】如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动,则最大值是( ) A.2

B.1+

C.

D.4

【解析】选A.令∠OAD=θ,由于AD=1,故OA=cosθ,OD=sinθ,∠BAx=-θ,AB=1, 故xB=cosθ+cos=cosθ+sinθ,yB=sin故

=cosθ,

=(cosθ+sinθ,cosθ),

同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ), 即所以是2.

2.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,O为原点,当此两向量夹角在围是( ) A.(0,1) C.

∪(1,

)

B.D.(1,

)

变动时,m的范

=(sinθ,cosθ+sinθ), ·

=(cosθ+sinθ,cosθ)·(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,

·

=1+sin2θ的最大值

【解析】选C.已知=(1,1),即A(1,1)如图所示,

当点B位于B1和B2时,a与b夹角为故B1

,B2(1,

,即∠AOB1=∠AOB2=

,此时,∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+

=,

),又a与b夹角不为零,故m≠1,

∪(1,

).

由图易知m的范围是

二、填空题(每小题5分,共10分) 3.已知a=

,b=

,则向量

a+b与-2(

a-b)的夹角为________.

【解析】设夹角为θ,因为|a|=1,|b|=1,a·b=0, 所以(又|答案:

a+b)·[-2(a+b|=2,|-2(

a-b)]=-4, a-b)|=4,所以θ=

.

【补偿训练】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 C.钝角三角形

B.锐角三角形 D.等边三角形 =(1,1),所以

·

=0.

=

+

,则

【解析】选A.因为=(-3,3),

4.(2015·安溪高一检测)若等边△ABC的边长为2

·

=________.

,平面内一点M满足

【解析】建立如图所示的直角坐标系,

根据题设条件即可知A(0,3),B(-所以

=(0,1),

=(-

,0),M(0,2),

·

=-2.

,-2).所以

答案:-2

【补偿训练】设A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若上的投影相同,则a与b满足的关系式为( ) A.4a-5b=3 C.4a+5b=14

与·

B.5a-4b=3 D.5a+4b=14 方向上的投影相同,

方向

【解析】选A.因为所以

·

=

所以4a+5=8+5b,所以4a-5b=3. 三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·日照高一检测)已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD.

(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度. 【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4), 所以又所以(2)因为

=(1,1),·⊥⊥

=(-3,3).

=1×(-3)+1×3=0, ,即AB⊥AD.

,四边形ABCD为矩形,所以

=(x+1,y-4),

所以C点的坐标为(0,5). ,

.

=(1,7),

=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O

=

.

设C点的坐标为(x,y),则从而有又

=(-4,2),|

即|=2

所以矩形ABCD的对角线的长度为26.(2015·惠州高一检测)已知为坐标原点).

=(2,1),

(1)求使·取得最小值时的.

(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB. 【解析】(1)因为点C是直线OP上的一点, 所以向量则所以

=所以

2

与共线,设=t(t∈R),

=t(2,1)=(2t,t), =-·

-=(1-2t,7-t),

=(5-2t,1-t),

=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)

2

=5t-20t+12=5(t-2)-8. 所以当t=2时,(2)由(1)知所以所以|

·

取得最小值,此时

=(4,2).

=(4,2),

=(1,-1), |==-,.

·

=-3-5=-8.

=(-3,5),|=

,|

所以cos∠ACB=