第四章习题
4-1 调节系统如图4-13所示，试分别求当K=10和K=20时，系统的阻尼比 ?、无阻尼自然振荡频率?n、单位阶跃响应的超调量Mp、峰值时间tp、衰减率?、调节时间ts和稳态误差e(?)，并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影响。 解:系统的闭环传递函数为
G(s)? 二阶系统传递函数的通用形式为
C(s)10K ?2R(s)S?10S?10K2K'?n G(s)?22S?2??nS??n 二式比较，可得, K’=1
?n?10K ??5100? 50.10K K=10时，?n?100?10 ??5 由此可以求得：
22阻尼振荡频率 ?d??n1???101?0.5?53?8.66(rad/s)
峰值时间 tp?????0.363(s) ?d8.66???/1??2超调量 Mp?e?2??/衰减率 ??1?e?e?0.577??16.3%
1??2?1?e?1.154??97.3%
调节时间
采用2%的误差带 ： ts?4??n??4?0.8(s) 5 采用5%的误差带 ： ts?稳态误差
3??n3?0.6(s) 5e(?)?1?c(?)?1?limSC(s)S?0
1?1?limS[G(s)?]S?0S
'2K?n?1?lim22S?0S?2??S??nn?1?K'?0K=20时，?n?200?102 ??5200?2 42阻尼振荡频率 ?d??n1???1021?0.125?13.23(rad/s)
峰值时间 tp?????0.237(s) ?d13.23???/1??2超调量 Mp?e衰减率 ??1?e调节时间
?e?0.258??39.3%
?2??/1??2?1?e?0.516??80.4%
采用2%的误差带 ： ts?4??n??4?0.8(s) 5 采用5%的误差带 ： ts?3??n3?0.6(s) 5稳态误差 e(?)?1?K'?0
4-2 调节系统如图4-14所示，试分别求出当系统的瞬态响应为?=0.75和?=0.9时的 ? 值。
解：由系统方框图可写出闭环特征方程式：
1?整理得：S?21?0
?5S(1?10S)111S??0 1050?22考虑到二阶系统的标准形式为：S?2??nS??n?0 可见：?n?11 , ??
20?n50?当取ψ=0.75时，阻尼比ξ=0.216，据此可求得：
??1?8?2?0.37 3250?12?8??0.94 7250?当取ψ=0.9时，阻尼比ξ=0.344，据此可求得： ??
4-3 试用劳斯判据和古尔维茨判据确定下列特征方程式的系统的稳定性。如果不稳定，指出在S右半平面根的个数。
4325432（1）S?8S?18S?16S?5?0 (2)S?S?3S?2S?3S?5?0 （3）3S?10S43?5S2?S?2?0 (4)S3?10S2?8S?16?0
答案: (1) 劳斯阵列：
S41S38 S216S113.5S05185165
第一列元素全为正，所以系统稳定。 (2) 劳斯阵列：
S5S4
111432?2535
S3S2S1?3.25S05 第一列元素符号改变两次，所以系统不稳定，有2个根在S右半平面。 (3)劳斯阵列：
S4S3 S2310475212
10S1?15347S02 第一列元素符号改变两次，所以系统不稳定，有2个根在S右半平面。 (4) 劳斯阵列：
S3S2 1SS0181016
6.416 第一列元素全为正，所以系统稳定。
4-4 已知系统特征方程式如下，试求系统在S右半平面的根数。 （1）S?3S?12S?24S?32S?48?0 （2）S?3S?12S?20S?35S?25?0 （3）S?4S?4S?4S?7S?8S?10?0 答案: (1) 劳斯阵列：
6543254325432S51S4312322448
S3416 2S1248S100 由于出现全零行，故用S行系数构成辅助多项式。 f(s)=12S+48 f'(s)=24S
22S51S4312322448
S3416 2S1248S124S0480 第一列元素全为正，说明特征方程式没有正根，而由辅助方程式， 12S+48=0 S=j2和S=-j2
这就是系统特征方程式的两对虚根，因此系统边界稳定。 (2) 劳斯阵列：
2S5S413122035250
S3163803 225S5S100由于出现全零行，故用S行系数构成辅助多项式 f(s)=5S+25 f'(s)=10S
22S5S413122035250
S3163803 225S5S110S02520第一列元素全为正，说明特征方程式没有正根，而由辅助方程式 5S+25＝0 S=j
5和S=-j 5 这就是系统特征方程式的两对虚根，因此系统边界稳定。
4-5 调节系统如图所示,G1(s)=K,G2(s)=1/s(0.1s+1)(0.2s+1)
R(S)-G1（S）G2（S）C(S)
习题4-5图
（1） 确定系统稳定时的K值范围； （2） 如果要求闭环系统的根全部位于S??1垂线之左，K值范围应取多大？ 答案: (1)系统特征方程 1?G1(s)G2(s)?1?K?0，即
s(0.1s?1)(0.2s?1) s(s?10)(s?5)?50K?0 s?15s?50s?50K?0 劳斯阵列：
32S3
11510K350K5050K
S21S50?S0 系统稳定，则需第一列元素全为正，50?10K?0,50K?0所以0?K?15。 3