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+
=
111×() ?22n?12n?111(1?) 22n?1n=。 2n?1n17 由=,解得n=17.
2n?135经检验n=17使原等式成立,所以n=17.
变式1:小王利用计算机设计了计算程序,输入和输出的数据如下:
那么,当输入数据为8时,输出的数据是( ) A.
8 61 B.
8 63 C.
8 65 D.
8 67变式 2: 根据下表中的规律,从左到右的空格中应依次填写的数字是( )
A. 100,011
B. 011,100 C. 011,101
D. 101,110
第二节 整式
典例1 先化简,再求值:(a?b)
2+(a?b)?(2a?b)-3a2,其中
a??2?3,b?3?2.。
点拨: 先运用乘法公式及多项式乘法化简,再代入计算。
解:原式?a?2ab?b?2a?ab?b?3a ?ab。 当a??2?3,b?222223?2.时,原式?(?2?3)(3?2)
??(3?2)(3?2)
=-(3-4)
=1。
变式1:已知x?4?0,求代数式x(x?1)?x(x?x)?x?7的值。
典例2 图(1)是一个边长为(m?n)的正方形,小颖将图(1)中的阴影部分拼成图(2)
的形状,由图(1)和图(2)能验证的式子是( )
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nmmparallelnmn
图(1) 图(2)
A.(m?n)?(m?n)?4mn B.(m?n)?(m?n)?2mn C.(m?n)?2mn?m?n D.(m?n)(m?n)?m?n
点拨: 根据两个图形中阴影部分的面积相同,得出两种计算面积的代数式的值相等,来验
证公式。
解:由题意得两图中阴影部分的面积相等,图(1)中,由勾股定理得空白部分正方
形的边长为
2222222222m2?n2,图(1)中阴影部分面积为
(m?n)2?(m2?n2)2?(m?n)2?(m2?n2),图(2)阴影部分面积为
1?2mn,所以(m?n)2?(m2?n2)?2mn,故选B。 2mn变式1: 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分
4?剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是( )
A.a?b?(a?b)(a?b) B.(a?b)?a?2ab?b
C.(a?b)?a?2ab?b D.a?ab?a(a?b)
222222222
典例3 有一列单项式:?x,2x,?3x,4x,…,?19x,20x.
(1)你能说出它们的规律是什么吗?
(2)写出第2008个单项式,
(3)写出第n个以及第(n+1)个单项式。
点拨: 代数式的规律探究题,需要经过观察、分析、类比、归纳等过程,进而由特殊到一
般发现其规律。
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解:(1)每个单项式的系数的绝对值与该单项式中x的指数相等,奇数项系数为负,
偶数项系数为正。
(2)2008x2008.
nn?1(3)当n为奇数时,第n个单项式为?nx,第(n?1)个单项式为(n?1)x当n为偶数时,第n个单项式为nx,第(n?1)个单项式为?(n?1)xnn?1,
。
变式1: 用同样大小的正方形按下列规律摆放,将重叠部分涂上颜色,下面的图案中,第n
个图案中正方形的个数是__________。
变式2:将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列,用一个小正方形任意 圈出其中的9个数,设圈出的9个数的中心的数为a,用含有a的代数式表示这9?
个数的和为__________.
典例4:代数式3x2?4x?6的值为9,则x2?A.7 B.18
点拨: 体现的思想方法是整体代入法。
34x?6的值为( ) 3 C.12 D.9
3变式1:当x?1时,代数式px?qx?1 的值为2005,则当x??1时,代数式px?qx?1的值为( )
A.-2004 B.-2005 C.2005 D.2004
a2?b2?ab的值。 变式2:设a?b??2,求
2典例5:把代数式ax2?4ax?4a分解因式,下列结果中正确的是( )
A.a(x?2) B.a(x?2)
22 C.a(x?4) D.a(x?2)(x?2)
2点拨:分解因式常用的方法是:“先提再套”,还应从多项式的角度考虑,直到各因式都不能
继续分解为止。
2变式1:分解因式:2x?18?
变式2 :把代数式xy?9x分解因式,结果正确的是( )
A. x(y?9)
22
B. x(y?3) D. x(y?9)(y?9)
2C. x(y?3)(y?3)
典例6:下列运算结果正确的是( )
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32①2x?x?x ② x?(x)?x ③(?x)?(?x)?x
35213633④(0.1)?10?2?1?10
A.①② B. ②④ C. ②③ D. ②③④
变式1:下列计算中错误的是( )
A.(?ab)?(?ab)??ab B.(?ab)?(?ab)?ab
32231818?C.(?a)?(?b)?ab D.?(?a)?(?b)??ab ??32236632239823323333
第三节 分式
x2?4典例1 (1)当x为何值时,分式2无意义?
x?x?2(2)当x的何值时,分式
x?1的值为零?
x2?2x?3A中,若B?0,则分式无意B点拨: 判断分式有无意义,必须对原分式进行讨论,在分式
义,若B?0,则分式缺一不可。
AA有意义,分式的值为零的条件是A?0且B?0,两者BBx2?42解:(1)要使分式2无意义,则需x?x?2?0。
x?x?2x2?4即当x?2或x??1时,分式2无意义。
x?x?2(2)要使分式变式1:已知分式变式2:若将分式
x?12的值为零,则需x?1?0,且x?2x?3?0,解得x??12x?2x?3x?5 ,当x≠______时,分式有意义;当x=______时,分式的值为0.
x2?4x?5a?b (a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分 ab式的值为( )
11
A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.缩小为原来的
24
1a2?a1)?典例2 先化简,再求值:(1?,其中a?。 a?1a?12点拨: 在分式的混合运算中,除法运算要先变为乘法运算,分子,分母能分解因式的可先
分解因式再约分。
解:原式=(1?1a?1)?2 a?1a?a。 9欢迎下载
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?aa?1? a?1a(a?1)?当a?1。 a?11时,原式=-2. 2a?2a?1a?42变式1:求值:(2,其中a满足a?2a?1?0 ?2)?a?2aa?4a?4a?2111ba变式2:若??,则?= 。
baa?bab典例3 已知x?3y?0,求
2x?y?(x?y)的值.
x2?2xy?y2点拨: 根据分式乘除的运算法则,先将分式化简,再将x?3y?0转化为x?3y代入求值。
解:原式?2x?y?(x?y) 2(x?y)2x?y。 x?y6y?y
3y?y7y 2y?当x?3y时,原式? ? =
227 2变式1: 若x?3xy?4y?0,则x?2y= 。
2x?y变式2:若?1x12x?3xy?2y=___ ?3,则分式yx?2xy?y典例4 A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分;
B玉米试验田是边长为(a?1)米的正方形,两块试验田都收获了500千克玉米。 (1)哪个玉米试验田的单位面积产量高?
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
点拨:要解决第(1)小问,可先利用正方形的面积公式分别求出其面积,即可求出各自的
单位面积产量,进而利用作差法比较它们的大小,对于第(2)小问,可以利用作商 的办法来解决。
2解:(1)A玉米试验田的面积是(a?1)米,单位面积产量是
25002千克∕米; 2
a?1
。
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