《数值分析》教学大纲

英文译名：Numerical Analysis 课程代码：B2082001 学 分：4 总学时数：64

一、课程性质与任务

《数值分析》课程是是信息与计算科学专业的专业课，通过本课程的学习，使学生掌握计算机上常用的数值计算方法和原理，能够针对实际问题要求正确选择，使用适当的数值算法，并能对数值结果作必要的分析；并熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，为提高学生的科学计算能力打下良好的基础。

二、课程基本要求

使学生掌握计算机上常用的数值计算方法；并通过实际的编程应用了解计算机对实际数值的处理，以及计算机在数值处理中的应用。要求熟练掌握计算上常用的数值计算方法，并能应用计算机来解决实际生活中的要求对数值进行处理的问题。

三、教学内容 （一）预备知识

1、数值分析研究的对象、方法和意义；

2、误差的来源,误差限,相对误差和相对误差限,有效数字. 重点与难点 ：有效数字的概念及应用 教学建议：

(1) 了解数值分析所研究的对象,理解数值分析中常采用的方法与手段以及对于解决各类数学问题所具有的实际意义；

(2) 对数学问题进行数值求解,求得的结果一般都包含有误差,误差分析和估计正是数值分析严密科学性的具体体现,因此,要求学生熟练准确掌握误差及有效数字的概念,对以后的学习大有好处。

（二）非线性方程f(x)?0的解法 1、求解x?g(x)的迭代法 2、二分法

3、牛顿迭代法－割线法 重点：二分法和牛顿法 难点：迭代方法的理解

教学建议：重点掌握二分法和牛顿迭代法，了解解非线性方程组的NEWTON迭代法。

（三）线性方程组Ax?B的数值解法 1、向量和矩阵简介 2、上三角线性方程组 3、高斯消去法和选主元 4、三角分解法 5、求解方程组的迭代法 重点：

(1) 解线性方程组的迭代法和消去法; (2) 迭代收敛性讨论. 难点：消去法公式的推导. 教学建议

(1) 熟练掌握对角占优的概念和迭代收敛的条件,学会建立收敛的迭代格式; (2) 重点掌握迭代法和消去法的应用; (3)了解追赶法的基本思想和适用范围; （四）插值与多项式逼近 1、泰勒级数与函数计算 2、插值介绍

3、拉个朗日插值多项式（1） 3、拉个朗日插值多项式（2） 4、牛顿插值多项式 5、切比血夫多项式逼近 6、帕德逼近 7、三次样条插值 重点：拉格朗日插值法 难点：三次样条插值 教学建议：

（1）了解插值法的概念，知道插值多项式的存在唯一性。 （2）掌握拉格朗日插值法，能写出其基函数。

（3）理解差分、差商的概念，能写出牛顿向前、向后插值公式。 （4）了解分段低次插值的概念及其意义。 （5）理解三次样条插值，掌握其求法。

（6）理解数值微分，知道常用的数值微分公式及其阶。

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（五）数值积分 1、积分简介

2、组合梯形公式和辛普森公式（1） 组合梯形公式和辛普森公式（2） 3、递归公式和龙贝格积分（1） 4、递归公式和龙贝格积分（2） 5、自适应积分 （1）梯形求积公式

（2）抛物求积公式和牛顿─柯特斯公式

（3）求积公式的余项,复化求积公式及其误差估计,变步长求积方法。 重点：

(1) 复化求积法； (2) 变步长求积法的使用。 难点：变步长求积方法。

教学建议：掌握数值积分的基本思想和代数精度的概念; 掌握插值型求积公式与高斯型求积公式，理解等距节点的牛顿-柯特斯公式及余项估计，掌握复化求积法，李查逊外推技巧及在此基础上诱导出的龙贝格公式。掌握数值微分的基本思想与运算。 （六）常微分方程的数值解法 1、解法的问题提出 2、欧拉方法 3、泰勒级数法 4、龙格─库塔方法 5、稳定性

6、方程组与高阶方程的解法 重点：

(1) 改进的尤拉方法；

(2) 经典的四阶龙格─库塔方法的应用。 难点：方程组与高阶方程的解法； 教学建议：

(1) 理解局部截断误差的概念,能够判断出每种格式的精度；

(2) 熟练掌握改进的尤拉方法和常用的四阶龙格─库塔公式的使用，了解两种方法各自的特点，学会针对具体问题来选择合适的算法； (3) 理解二阶龙格─库塔方法的推导过程；

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