长方体和正方体的表面积和体积

知识框架

一、立体图形的体积计算常用公式：

立体图形 示例 表面积公式 长方体 体积公式 相关要素 三要素：a、b、h 二要素：s、h V?abh V?sh S = 2(ab+bc+ac) 正方体 S = 6a 2 V?a3 V?sh 一要素：a 二要素：s、h 二、立体几何相关数学方法：

接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.

视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、

后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.

片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片，化

立体为平面.

重难点

重点：长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用． 难点：三视图法、内孔结构

例题精讲

【例 1】一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体

的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．

【巩固】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体

的表面积是_______平方厘米．

【例 2】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个

新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米。

【巩固】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

【例 3】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下

层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体 的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是________．

【巩固】有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如

果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？

【例 4】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面

积是多少平方厘米？

【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层(N?3)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值

是多少？

【例 5】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩

下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)