（4） ∠PAB=∠APC+∠PCD ②选择结论 （1） ，说明理由．

【分析】①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；

（2）过点P作l∥AB，则AB∥CD∥l，再根据两直线内错角相等即可解答；

（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；

（4）根据AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根据∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性质进行解答；

②选择①中任意一个进行证明即可．

【解答】解：①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD， ∴∠1+∠PAB=180°， ∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（2）过点P作直线l∥AB， ∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（3）∵AB∥CD， ∴∠PEB=∠PCD，

∵∠PEB是△APE的外角， ∴∠PEB=∠PAB+∠APC， ∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

（4）∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角， ∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

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∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

②选择结论（1），证明同上．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键． 9．（2016春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM=90° ；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果； （2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出结果；

（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示： 则PG∥CD，

∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM， ∵∠1+∠2=∠P=90°，

∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°， 故答案为：∠PFD+∠AEM；

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（2）证明：如图②所示： ∵AB∥CD，

∴∠PFD+∠BHF=180°， ∵∠P=90°，

∴∠BHF+∠2=90°， ∵∠2=∠AEM，

∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM， ∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°， ∴∠PFD﹣∠AEM=90°； （3）如图③所示： ∵∠P=90°，

∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°， ∵AB∥CD，

∴∠PFC=∠PHE=75°， ∵∠PFC=∠N+∠DON， ∴∠N=75°﹣30°=45°．

【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键． 10．（2015秋?渠县期末）如图，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=140°，求∠F的度数．

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【分析】先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF的度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠CDE=121°， ∴∠AED=180°﹣121°=59°，∠DEB=121°． ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=×121°=60.5°，

∴∠GEF=59°+60.5°=119.5°． ∵∠AGF=140°，

∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=140°﹣119.5°=20.5°．

【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质；熟记两直线平行，同旁内角互补，内错角相等是解决问题的关键． 11．（2015春?武安市期末）探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系． 发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A（ 两直线平行，内错角相等 ） ∵PQ∥AB，AB∥CD．

∴PQ∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行 ） ∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C

小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD． ∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C

请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 小明的证法 ． 应用：

在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 100° ； 在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 40° ；

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