初二数学平行线难题训练 下载本文

(4) ∠PAB=∠APC+∠PCD ②选择结论 (1) ,说明理由.

【分析】①(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD,再根据两直线平行同旁内角互补即可解答;

(2)过点P作l∥AB,则AB∥CD∥l,再根据两直线内错角相等即可解答;

(3)根据AB∥CD,可得出∠PEB=∠PCD,再根据三角形外角的性质进行解答;

(4)根据AB∥CD,可得出∠PAB=∠PFD,再根据∠PFD是△CPF的外角,由三角形外角的性质进行解答;

②选择①中任意一个进行证明即可.

【解答】解:①(1)过点P作PE∥AB,则AB∥PE∥CD, ∴∠1+∠PAB=180°, ∠2+∠PCD=180°,

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;

(2)过点P作直线l∥AB, ∵AB∥CD,

∴AB∥PE∥CD,

∴∠PAB=∠3,∠PCD=∠4, ∴∠APC=∠PAB+∠PCD;

(3)∵AB∥CD, ∴∠PEB=∠PCD,

∵∠PEB是△APE的外角, ∴∠PEB=∠PAB+∠APC, ∴∠PCD=∠APC+∠PAB;

(4)∵AB∥CD, ∴∠PAB=∠PFD,

∵∠PFD是△CPF的外角, ∴∠PCD+∠APC=∠PFD,

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∴∠PAB=∠APC+∠PCD.

②选择结论(1),证明同上.

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,能根据题意作出辅助线,再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键. 9.(2016春?威海期中)如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F

(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD+∠AEM=90° ;

(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:∠PFD﹣∠AEM=90°;

(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.

【分析】(1)由平行线的性质得出∠PFD=∠1,∠2=∠AEM,即可得出结果; (2)由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°,再由角的互余关系即可得出结果;

(3)由角的互余关系求出∠PHE,再由平行线的性质得出∠PFC的度数,然后由三角形的外角性质即可得出结论. 【解答】解:(1)作PG∥AB,如图①所示: 则PG∥CD,

∴∠PFD=∠1,∠2=∠AEM, ∵∠1+∠2=∠P=90°,

∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°, 故答案为:∠PFD+∠AEM;

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(2)证明:如图②所示: ∵AB∥CD,

∴∠PFD+∠BHF=180°, ∵∠P=90°,

∴∠BHF+∠2=90°, ∵∠2=∠AEM,

∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM, ∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°, ∴∠PFD﹣∠AEM=90°; (3)如图③所示: ∵∠P=90°,

∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°, ∵AB∥CD,

∴∠PFC=∠PHE=75°, ∵∠PFC=∠N+∠DON, ∴∠N=75°﹣30°=45°.

【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系;熟练掌握平行线的性质,弄清角之间的数量关系是解决问题的关键. 10.(2015秋?渠县期末)如图,AB∥CD,∠CDE=121°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=140°,求∠F的度数.

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【分析】先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数,再由角平分线的性质求出∠DEF的度数,进而可得出∠GEF的度数,再根据三角形外角的性质即可得出结论. 【解答】解:∵AB∥CD,∠CDE=121°, ∴∠AED=180°﹣121°=59°,∠DEB=121°. ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F, ∴∠DEF=×121°=60.5°,

∴∠GEF=59°+60.5°=119.5°. ∵∠AGF=140°,

∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=140°﹣119.5°=20.5°.

【点评】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质;熟记两直线平行,同旁内角互补,内错角相等是解决问题的关键. 11.(2015春?武安市期末)探索:小明和小亮在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点P,探索∠P与∠A,∠C的数量关系. 发现:在图1中,小明和小亮都发现:∠APC=∠A+∠C;

小明是这样证明的:过点P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A( 两直线平行,内错角相等 ) ∵PQ∥AB,AB∥CD.

∴PQ∥CD( 平行于同一直线的两直线平行 ) ∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C

小亮是这样证明的:过点作PQ∥AB∥CD. ∴∠APQ=∠A,∠CPQ=∠C ∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C

请在上面证明过程的过程的横线上,填写依据;两人的证明过程中,完全正确的是 小明的证法 . 应用:

在图2中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠P的度数为 100° ; 在图3中,若∠A=30°,∠C=70°,则∠P的度数为 40° ;

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