拓展：

在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可． 【解答】解：如图1，过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等） ∵PQ∥AB，AB∥CD．

∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C，

故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法； 如图2，过点P作PE∥AB，

∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°， ∵PE∥AB，AB∥CD．

∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE =100°；

如图3，过点P作PF∥AB， ∴∠APF=∠A，

∵PF∥AB，AB∥CD． ∴PF∥CD， ∴∠CPF=∠C

∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A 即∠APC=∠C﹣∠A=40°； 如图4，过点P作PG∥AB，

∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°﹣∠A ∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°﹣∠C ∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．

第21页（共41页）

【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 12．（2015春?江西校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．

（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°． ①求证：∠ABC=∠ADC； ②求∠CED的度数．

【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠BAE=∠EAD，根据平行线的性质可得∠AEB=∠EAD，等量代换即可求解；

（2）①先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求解；

②根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根据平行线的性质得出方程90﹣x+60+3x=180，求出x即可． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD， ∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD， ∴∠BAE=∠BEA；

（2）①证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC；

②解：∵∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°， ∴∠ADE=3x°，∠ADC=2x°， ∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

第22页（共41页）

∴∠DAB=180°﹣2x°，

∵∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°﹣x°， 又∵AD∥BC，

∴∠BED+∠ADE=180°， ∵∠AED=60°，

即90﹣x+60+3x=180，

∴∠CDE=x°=15°，∠ADE=45°， ∵AD∥BC，

∴∠CED=180°﹣∠ADE=135°．

【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，用了方程的思想，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 13．（2015秋?连云港校级月考）探究题：

（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由． （3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论． （5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论． 【分析】（1）首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可．

（2）首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，可得∠D=∠2，据此判断出EF∥CD，再根据EF∥AB，可得AB∥CD，据此判断即可．

（3）首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可．

（4）首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可．

（5）首先作EM∥AB，FN∥AB，GP∥AB，根据AB∥CD，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，据此判断即可．

【解答】解：（1）如图1，作EF∥AB，∵AB∥CD， ∴∠B=∠1，

第23页（共41页）

，

∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠D=∠2，

∴∠B+∠D=∠1+∠2， 又∵∠1+∠2=∠E， ∴∠B+∠D=∠E．

（2）如图2，作EF∥AB，∵EF∥AB， ∴∠B=∠1，

∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D， ∴∠D=∠2， ∴EF∥CD， 又∵EF∥AB， ∴AB∥CD．

，

（3）如图3，过E作EF∥AB，∵EF∥AB，

∴∠BEF+∠B=180°， ∵EF∥CD，

∴∠D+∠DEF=180°， ∵∠BEF+∠DEF=∠E，

∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．

，

（4）如图4，∵AB∥CD， ∴∠B=∠BFD，

∵∠D+∠E=∠BFD， ∴∠D+∠E=∠B．

，

第24页（共41页）