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有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）

撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：aa???a?an.在a中，a叫做底数， n叫做指数．

nn个要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

1

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是5，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 a≥0．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：

(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成a?10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤|a|<10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝4.2?107. 要点诠释：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“?”照写，其它与正数一样，如-3000=?3?10； （2）把一个数写成a?10形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少

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1.

【典型例题】

类型一、有理数乘方

【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】

1．计算：

（1）(?4) （2）?43 （3）(?3) （4）?34

34333322（2?3）（5） （8）2?3 （） （6） （7）

55【答案与解析】

3(?4)?(?4)?(?4)?(?4)??64； （1）

（2）?4??4?4?4??64；

4(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?81； （3）

3（4）?3??3?3?3?3??81；

43333327（（5）5）?5?5?5?125；

333?3?327（6）； ??555（2?3）?6?36； （7）

（8）2?3?2?9?18

【总结升华】(?a)与?a不同，(?a)?(?a)表示a的n次幂的相反数．

举一反三：

n222nn(?a)???n个na，而?a??aa??n个a（-5）与-5的异同． 【变式】比较

【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；

33（-5）表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-5表示5的3次方的相不同点：

反数，即-5＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同． 类型二、乘方的符号法则

2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

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?5?72420092010

(-2)，(-3)，(-1.0009)，??，-(-2)

?3?【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．

724

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)运算的结果是负；(-3)运算的结果为正；(-1.0009)

2009

5?5?2010

运算的结果是负；??运算的结果是正；-(-2)运算的结果是负．

?3?5【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 类型三、有理数的混合运算

【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】

??3.计算：（1）?1-?1-0.5?????2--32??????1?3????

1?3?2???3??

?6?1132011（3）(1??2.75)???24????1???2

38（2）?14?（4）

【答案与解析】

1??0.1?563?1??0.2?2??23?3

17?(?7)??； 661117法二：原式=(1?1??)?(2?9)??(?7)??

23661135（2）原式??1??? 2??27??1-?29=-????6?664111(3) 原式=(?-)?（-24）-1-8=-32-3+66-9=22

38411(4) 原式=???8?3=-1000-25+11=-1014

?0.0010.04（1）法一：原式＝(1?)?(?7)?【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 举一反三：

【变式】计算：（1）?1?(1?0.5)??[2?(?3)]

4132?1?（2）(?2)?(?4)????12

?2?42【答案】原式??1??115?1?1??(2?9)??1??(?7)??1??7?5 ?666?2?3 word完美格式

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原式?16?(?4)?

类型四、科学记数法

111?1??16???1??2 4444. 用科学记数法表示：

(1)3870000000；（2）3000亿；（3）?287.6 【答案与解析】（1）把3870000000移动9位得到的，即把原数缩小到

写成a?10时，a?3.87，它是将原数的小数点向左

n193870000000?3.87?10，所以； 910n（2）3000亿=300 000 000 000，把3000亿写成a?10时，a?3，n的值应比 300 000 000 000的整数位少1，因此 n?11，所以3000亿=3?10；

（3）?287.6写成a?10时，“-”照写，其它和正数一样，所以?287.6??2.876?10. 【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成a?10形式，n的确定：n比这个数的整数位数少1. 举一反三：

【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为 （ ） A．7.605 7×10人 B．7.605 7×10人 C．7.605 7×10人 D． 0.760 57×10人 【答案】B

5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.

（1）3.14?10； （2）?1.732?10； （3）1.392?10千米 【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用 （1）3.14?10?3140；

（2）?1.732?10??17320000； （3）1.392?10千米=1392000千米.

【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：n是几就将a?10中a的小数点向右移动几位. 类型五、探索规律

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