落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝BC.则矩形纸片ABCD的面积为15． 16．(2017·眉山)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(－4，6)，(－1，4)．

(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系； (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(3)请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标． 解：(1)(2)如图．

(3)作点B1关于y轴的对称点B2，连接B2C交y轴于点P，点P即为所求．点P的坐标为(0，2)．

第2课时 图形的平移、位似与旋转

重难点1 平移的相关计算

(2018·株洲)如图，点O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，2)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(2，2)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．

【思路点拨】 如图，由点B的坐标为(0，2)，且平移后点B′的坐标为(2，2)，可知沿x轴平移的距离为2，且线段OA与平移后的线段O′A′的关系是平行且相等，所以线段OA在平移过程中扫过的部分是平行四边形OO′A′ A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积．

方法指导

解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：

①对应线段平行(或共线)且相等； ②对应点的连线平行且相等；

③平移前后的图形全等．

【变式训练1】 如图，将边长为2个单位长度的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为8个单位长度． 重难点2 旋转的计算与证明

(2018·烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【思路点拨】 两种思路的出发点相同，都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决．

【自主解答】

图1

解：选择思路一，如图1.

∵将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A， ∴BP′＝BP＝2，∠PBP′＝90°，AP′＝PC＝3. ∴PP′＝＝2，∠P′PB＝45°.

∴AP′2＋PP′2＝1＋(2)2＝9＝AP′2. ∴∠APP′＝90°.

∴∠APB＝∠APP′＋∠P′PB ＝135°.

图2

选择思路二，如图2.

∵将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，

∴BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝1，∠APB＝∠BP′C，∠PBP′＝90°. ∴PP′＝＝2，∠PP′B＝45°. ∴P′C2＋PP′2＝12＋(2)2＝9＝PC2. ∴∠PP′C＝90°.

∴∠APB＝∠BP′C ＝∠PP′B＋∠PP′C ＝135°.

方法指导

图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几

点： ①找准旋转中的“变”与“不变”； ②找准旋转前后的“对应关系”；③充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系．如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为60°的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．

【变式训练2】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是(B)

A．50° B．60° C．70° D．80°

【变式训练3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是(A)

A.B．2C．3 D．2重难点3 网格作图

3

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，

5)，B(－2，1)，C(－1，3)．

(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(4，0)，写出顶点A1，B1的坐标；

(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；

(3)若△ABC和△A3B3C3关于x轴对称，画出△A3B3C3，并写出△A3B3C3各顶点的坐标；

(4)若△ABC和△A4B4C4关于点(－1，1)位似，位似比为1∶2，画出△A4B4C4，并写出△A4B4C4各顶点的坐标；

(5)将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A5B5C5，写出△A5B5C5的各顶点的坐标，并求出点C旋转的路径长．

【自主解答】 解：(1)如图，△A1B1C1为所作． ∵点C(－1，3)平移后的对应点C1的坐标为(4，0)，

∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1. ∴点A1的坐标为(2，2)，点B1的坐标为(3，－2)． (2)∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称， ∴A2(3，－5)，B2(2，－1)，C2(1，－3)．

(3)如图，△A3B3C3为所作，A3(－3，－5)，B3(－2，－1)，C3(－1，－3)． (4)如图，△A4B4C4为所作，A4(3，－7)，B4(1，1)，C4(－1，－3)． (5)如图，△A5B5C5为所作，A5(5，3)，B5(1，2)，C5(3，1)． ∵OC＝＝，

∴点C旋转的路径长为＝π.

1．平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：

(1)确定原图形中的关键点；

(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；

(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规律： (1)点的坐标对称规律： 点A(x，y)点A′(x，－y)； 点A(x，y)点A′(－x，y)； 点A(x，y)点A′(－x，－y)；

点A(x，y)点A′(kx，ky)或(－kx，－ky)． (2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减)：

(3)点的坐标旋转规律(以原点O为旋转中心，旋转角为特殊角)： 点A(x，y)点A′(y，－x)； 点A(x，y)点A′(－y，x)； 点A(x，y)点A′(－x，－y)．Ｋ 考点1 图形的平移

1．(2018·温州)如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(0，)．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是(C)

A．(1，0) B．(，)C．(1，) D．(－1，)

2．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5． 考点2 图形的旋转

3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(A)