一：如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形. (1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；

(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.

E

F

解：(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA. ∴△FBE ≌△CBA. ∴EF = AC.

又∵△ADC为等边三角形， ∴CD = AD = AC. ∴EF = AD. 同理可得AE = DF. ∴四边形AEFD是平行四边形.

(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.

B

A

D

C

当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形） 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）.

二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。 （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。 （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

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解：（1）（选证一）VBDE?VFEC

QVABC是等边三角形，?BC=AC,?ACB=600QCD?CE,?BD?AE,VEDC是等边三角形 ?DE?EC,?CDE??DEC?600??BDE??FEC?1200QEF?AE,?BD?FE,?VBDE?VFEC

（选证二）VBCE?VFDC

证明：QVABC是等边三角形,?BC?AC,?ACB?600

QCD?CE,?VEDC是等边三角形??BCE??FDC?600,DE?CE

QEF?AE,?EF?DE?AE?CE,?FD?AC?BC?VBCE?VFDC（选证三）VABE?VACF

证明：QVABC是等边三角形,?AB?AC,?ACB??BAC?600

QCD?CE,?VEDC是等边三角形??AEF??CED=600QEF?AE,?VAEF是等边三角形 ?AE?AF,?EAF?600?VABE?VACF（2）四边形ABDF是平行四边形。

由（1）知，VABC、VEDC、VAEF都是等边三角形。

??CDE??ABC??EFA?600?ABPDF,BDPAF,?四边形ABDF是平行四边形

（3）由（2）知，）四边形ABDF是平行四边形。

?EFPAB,EF?AB,?四边形ABEF是梯形过E作EG?AB于G，则EG?AEsin600??S四边形ABEF23 BCg?233211?EGg?AB?EF???23??6?4??10322

27

三：如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． 解：(1) 内.

(2) 证法一：连接CD， ∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形， 又∵ 点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD，

∴ □DECF为菱形． 证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

图7 ∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，

∴DI=DG， DG=DH． ∴DH=DI．

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形， ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI， ∴CE=CF．

∴□DECF为菱形．

四：在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．

(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋

33

PQ；

（2）若 BC＝6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF

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⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。

解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30° ∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP 过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM

∵∠EPM=30°∴PM=PE=

3PQ 33 PQ 33PE ∴2 ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+

12 （2）解：由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE ∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点P在线段ED上时（如图1） 过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x

由（1）得PD=BE- ∴y=PD·QH=?1233PQ=4-x 33121232x?x 1229

当点P在线段ED的延长线上时（如图2）过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’=x

过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ= ∴PD=

331x-4 y=PD·QH’=x2?x 312233PQ ∴BE=PQ-PD 3312 （3）解：连接PC交BD于点N（如图3）∵点P是线段ED中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23

∴PC=PD2?DC2=4 ∴cos∠DPC=DPC=60°

∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°

∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1

QC=PQ2?PC2=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC ∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC ∴

五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的

纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. ．．．

222PD1= ∴PC2∠

1221PGPN1??27= ∴PG=

3QCPQ234

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