初二数学好题难题集锦含答案 下载本文

一:如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形. (1) 当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;

(2) 当AB = AC时,顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.

E

F

解:(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形,

∴AB = BE = AE,BC = CF = FB,∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA. ∴△FBE ≌△CBA. ∴EF = AC.

又∵△ADC为等边三角形, ∴CD = AD = AC. ∴EF = AD. 同理可得AE = DF. ∴四边形AEFD是平行四边形.

(2) 构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.

B

A

D

C

当图形为菱形时,∠ BAC≠60°(或A与F不重合、△ABC不为正三角形) 当图形为线段时,∠BAC = 60°(或A与F重合、△ABC为正三角形).

二:如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF。

(1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明。 (2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由。 (3)若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积。

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解:(1)(选证一)VBDE?VFEC

QVABC是等边三角形,?BC=AC,?ACB=600QCD?CE,?BD?AE,VEDC是等边三角形 ?DE?EC,?CDE??DEC?600??BDE??FEC?1200QEF?AE,?BD?FE,?VBDE?VFEC

(选证二)VBCE?VFDC

证明:QVABC是等边三角形,?BC?AC,?ACB?600

QCD?CE,?VEDC是等边三角形??BCE??FDC?600,DE?CE

QEF?AE,?EF?DE?AE?CE,?FD?AC?BC?VBCE?VFDC(选证三)VABE?VACF

证明:QVABC是等边三角形,?AB?AC,?ACB??BAC?600

QCD?CE,?VEDC是等边三角形??AEF??CED=600QEF?AE,?VAEF是等边三角形 ?AE?AF,?EAF?600?VABE?VACF(2)四边形ABDF是平行四边形。

由(1)知,VABC、VEDC、VAEF都是等边三角形。

??CDE??ABC??EFA?600?ABPDF,BDPAF,?四边形ABDF是平行四边形

(3)由(2)知,)四边形ABDF是平行四边形。

?EFPAB,EF?AB,?四边形ABEF是梯形过E作EG?AB于G,则EG?AEsin600??S四边形ABEF23 BCg?233211?EGg?AB?EF???23??6?4??10322

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三:如图,在△ABC中,∠A、∠B的平分线交于点D,DE∥AC交BC于点E,DF∥BC交AC于点F.

(1)点D是△ABC的________心; (2)求证:四边形DECF为菱形. 解:(1) 内.

(2) 证法一:连接CD, ∵ DE∥AC,DF∥BC,

∴ 四边形DECF为平行四边形, 又∵ 点D是△ABC的内心,

∴ CD平分∠ACB,即∠FCD=∠ECD, 又∠FDC=∠ECD,∴ ∠FCD=∠FDC ∴ FC=FD,

∴ □DECF为菱形. 证法二:

过D分别作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,DI⊥AC于I.

图7 ∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC,

∴DI=DG, DG=DH. ∴DH=DI.

∵DE∥AC,DF∥BC,

∴四边形DECF为平行四边形, ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI, ∴CE=CF.

∴□DECF为菱形.

四:在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,连接BE,且∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.点P从点E出发沿射线ED运动,过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q.

(1) 当点P在线段ED上时(如图1),求证:BE=PD+

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PQ;

(2)若 BC=6,设PQ长为x,以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y与 x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);

(3)在②的条件下,当点P运动到线段ED的中点时,连接QC,过点P作PF

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⊥QC,垂足为F,PF交对角线BD于点G(如图2),求线段PG的长。

解:(1)证明:∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30° ∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP 过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM

∵∠EPM=30°∴PM=PE=

3PQ 33 PQ 33PE ∴2 ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+

12 (2)解:由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE ∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点P在线段ED上时(如图1) 过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x

由(1)得PD=BE- ∴y=PD·QH=?1233PQ=4-x 33121232x?x 1229

当点P在线段ED的延长线上时(如图2)过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H’ ∴QH’=x

过点E作EM’⊥PQ于点M’ 同理可得EP=EQ= ∴PD=

331x-4 y=PD·QH’=x2?x 312233PQ ∴BE=PQ-PD 3312 (3)解:连接PC交BD于点N(如图3)∵点P是线段ED中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=23 ∵DC=AB=AE·tan60°=23

∴PC=PD2?DC2=4 ∴cos∠DPC=DPC=60°

∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°

∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1

QC=PQ2?PC2=27 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC ∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG~△QPC ∴

五:如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的

纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. ...

222PD1= ∴PC2∠

1221PGPN1??27= ∴PG=

3QCPQ234

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