解：如图所示
六：已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD.
BEC
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90° ∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE ∴BE=CD
∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45° ∴∠BAE=∠EAD ∴AE平分∠BAD
七：如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.
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FA（第23题）D(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
AFBEHDAFBEDAFH(A)E(B)DG图（1）
C
解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠
GCB图（2）
GCHEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴
EFEG?AEGH,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.
2211(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH, ∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG, ∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；
连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,A由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE=AE?AB22H(A)FOE(B)D=85，∴BGCBO=4
5，∴FG=2OG=2BG2?BO2=45。
八：（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个
不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹） （2）写出你的作法．
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解：（1）所作菱形如图①、②所示．
说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．
（2）图①的作法：
作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1； 连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1． 四边形E1F1G1H1即为菱形． 图②的作法：
在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合； 以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2； 以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2； 连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．
九：如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），
点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
33
A P D
B
E
C （2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：
① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD.
A ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， D
∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB，
B
P 1 H 2 C E
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD. ）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD.
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综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD.
（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=A FE. D
∵ AP=x，AC=P 2，
∴ PC=
2- x，PF=FC=
22(2?x)?1?22x. BF=FE=1-FC=1-(1?22B F E C
2x)=2x. ∴ S△PBE=BF·PF=22x(1?22x)??122x2?2x. 即 y??122x2?2x (0＜x＜2). ② y??12122x2?2x??2(x?2)2?14. ∵ a??12＜0，
∴ 当x?22时，y最大值?14.
（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. A G
D
∵ 四边形ABCD是正方形，
3 2 P ∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， 1 △AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
B
F E C
∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 又∵ PB=PE， ∴ BF=FE， ∴ GP=FE，
∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°.
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如图所示.