初二数学好题难题集锦含答案 下载本文

解:如图所示

六:已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.

求证:AE平分∠BAD.

BEC

证明:∵四边形ABCD是矩形

∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90° ∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE ∴BE=CD

∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45° ∴∠BAE=∠EAD ∴AE平分∠BAD

七:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,BG=10.

(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图(1).求△EFG的面积.

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FA(第23题)D(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图(2).证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.

AFBEHDAFBEDAFH(A)E(B)DG图(1)

C

解:(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°;∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠

GCB图(2)

GCHEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴

EFEG?AEGH,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.

2211(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH, ∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG,∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG, ∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形;

连结BE,BE、FG互相垂直平分,在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,A由勾股定理可得FH=AF=6,∴AE=16,∴BE=AE?AB22H(A)FOE(B)D=85,∴BGCBO=4

5,∴FG=2OG=2BG2?BO2=45。

八:(1)请用两种不同的方法,用尺规在所给的两个矩形中各作一个

不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上.(保留作图痕迹) (2)写出你的作法.

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解:(1)所作菱形如图①、②所示.

说明:作法相同的图形视为同一种.例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种.

(2)图①的作法:

作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1; 连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1. 四边形E1F1G1H1即为菱形. 图②的作法:

在B2C2上取一点E2,使E2C2>A2E2且E2不与B2重合; 以A2为圆心,A2E2为半径画弧,交A2D2于H2; 以E2为圆心,A2E2为半径画弧,交B2C2于F2; 连接H2F2,则四边形A2E2F2H2为菱形.

九:如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),

点E在射线BC上,且PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE⊥PD;

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A P D

B

E

C (2)设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; ② 当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值. 解:(1)证法一:

① ∵ 四边形ABCD是正方形,AC为对角线, ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC,

∴ △PBC≌△PDC (SAS). ∴ PB= PD, ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ,

∴ PE=PD.

A ② (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时, D

∵ PB=PE, ∴ ∠PBE=∠PEB,

B

P 1 H 2 C E

∴ ∠PEB=∠PDC,

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°, ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°, ∴ PE⊥PD. )

(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD. (iii)当点E在BC的延长线上时,如图. ∵ ∠PEC=∠PDC,∠1=∠2, ∴ ∠DPE=∠DCE=90°, ∴ PE⊥PD.

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综合(i)(ii)(iii), PE⊥PD.

(2)① 过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=A FE. D

∵ AP=x,AC=P 2,

∴ PC=

2- x,PF=FC=

22(2?x)?1?22x. BF=FE=1-FC=1-(1?22B F E C

2x)=2x. ∴ S△PBE=BF·PF=22x(1?22x)??122x2?2x. 即 y??122x2?2x (0<x<2). ② y??12122x2?2x??2(x?2)2?14. ∵ a??12<0,

∴ 当x?22时,y最大值?14.

(1)证法二:① 过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F. A G

D

∵ 四边形ABCD是正方形,

3 2 P ∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形, 1 △AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

B

F E C

∴ GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°. 又∵ PB=PE, ∴ BF=FE, ∴ GP=FE,

∴ △EFP≌△PGD (SAS). ∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°.

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如图所示.