数系的扩充与复数的引入

考纲导读 1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用.

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识网络 复数的分类基本概念模、辐角共轭复数两复数相等代数形式点几何形式向量三角形式代数式的运算三角式的运算加、减、乘、除乘方、开方复数表示形式运算几何运用几何问题轨迹问题高考导航 重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.

第1课时 复数的有关概念

基础过关 1．复数：形如 (a,b?R)的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 ．2．分类：设复数z?a?bi (a,b?R)：

(1) 当 ＝0时，z为实数；(2) 当 ?0时，z为虚数；

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(3) 当 ＝0, 且 ?0时，z为纯虚数.

3．复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.

4．共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时．这两个复数互为共轭复数．(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．

5．若z＝a＋bi, (a, b?R), 则 | z |＝ ； z?z＝ .6．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做 ， 叫虚轴．

7．复数z＝a＋bi(a, b?R)与复平面上的点 建立了一一对应的关系．8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.

典型例题 m2?m?6例1. m取何实数值时，复数z＝＋(m2?2m?15)i是实数？是纯虚数？

m?3m2?12m?15?0?m?5解：① z是实数????m?3?0② z为纯虚数

?m2?12m?15?0???m2?m?6?0?m?3或m??2?m?3?0?变式训练1：当m分别为何实数时，复数z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？

解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．

例2. 已知x、y为共轭复数，且(x?y)2?3xyi?4?6i，求x．

解：设x?a?bi,则y?a?bi(a,b?R)代入由复数相等的概念可得a??1,b??1z2?az?b变式训练2：已知复数z=1＋i，如果2=1－i,求实数a,b的值．

z?z?1由z=1＋i得

z2?az?b(a?b)?(a?2)i==（a＋2)－(a＋b)i

z2?z?1i?a?2?1?a??1从而?，解得?．

?(a?b)??1b?2??例3. 若方程x2?(m?2i)x?(2?mi)?0至少有一个实根，试求实数m的值.解：设实根为xo，代入利用复数相等的概念可得xo＝?2?m??22变式训练3：若关于x 的方程x2＋(t2＋3t＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根．解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．

例4. 复数z?x?yi (x,y?R)满足|z|?|z?2?2i|，试求3x?3y的最小值.设z?x?yi(x,y?R)，则x?y?2，

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于是3x?32?x?29?6变式训练4：已知复平面内的点A、B对应的复数分别是z1?sin2??i、z2??cos2??icos2?，其中??(0,2?)，设AB对应的复数为z.(1) 求复数z；

(2) 若复数z对应的点P在直线y?x上，求?的值.解：(1)

12z?z2?z1??1?2isin2?

12(2) 将P(?1,?2sin2?)代入y?x可得sin????5?7?11?1???,,,.26666小结归纳 1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.

2．设z＝a＋bi (a，b?R)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.

第2课时 复数的代数形式及其运算

基础过关 1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设z1?a?bi,z2?c?di (a,b,c,d?R)，则(1) z1?z2＝ ；(2) z1?z2＝ ；(3)

z1＝ (z2? ).z22．几个重要的结论：

⑴ |z1?z2|2?|z1?z2|2?2(|z1|2?|z2|2)⑵ z?z＝ ＝ .

⑶ 若z为虚数，则|z|2＝ z2 ?填?或??3．运算律

⑴ zm?zn＝ .

⑵ (zm)n＝ . ⑶ (z1?z2)n＝ (m,n?R). 典型例题 用心 爱心 专心

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