第二章 概率论与随机过程

2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,?xx(?) =?噪过程。

（a）试求谱密度?yy（f）。 （b）试求?yy(?)和E[Y2(t)]。

2?(?),即X(t)为白

R X(t) C Y(t)

图P2-16

解：（a）?xx=

??????xx(?)e?j2?f?d????2?(?)e?j2?f?d???2

???? 又系统函数H(f)=

Y(f)

=X(f)

11j2?fc? 11?j2?fcR?j2?fc21?2 ∴?yy(f)??xx(f)H(f)?? ?1?(2?fcR)21?4?2R2f2c22(b) E [y(t)]=?yy(0)

2?yy(?)???yy(f)e??2??j2?f?df?????22222??1?4?Rfcej2??fdf??22Rce?1?Rc

∴E [y(t)]=?yy(0)?

?22Rc

2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是?(k)?(1/2)，试求其功率密度谱。 解：由功率密度谱的定义知 ?(f)＝

?j2?fk?(k)e ???kk????? ＝

1k?j2?fk()e ?k???21 / 18

??1?k?2j?fk1e ＝?()＋?()ke?2j?fk

2k???2k?0?112j?fk??1?2j?fk)＋?(e) ＝?(ek?12k?021j2?fe1 ＝2＋

1j2?f11?e1?e?j2?f221j2?fe12 ∴ ?(f) ＝＋ 即为所求。

1j2?f1?j2?f1?e1?e22

2-23 试证明函数

??sin[2?W(t?

fk(t)＝

k)]2W，k= 0，?1，?2，… k2?W(t?)2W在区间[??,??]上为正交的，即

所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号s(t)的级数展开式，其中权值为s(t)的样值，且{fk(t)}是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得

?????fk(t)fj(t)dt＝???sin[2?W(t???kj)]sin[2?W(t?)]2W 2Wdt kj2?W(t?)2?W(t?)2W2W ＝

?????1cos[(j?k)??cos[4?wt?(k?j)?]dt

(2?wt??k)(2?wt??j)2 ∴命题得证。

2-24 系统的噪声等效带宽定义为 Beq?

1?2H(f)df ?0G2 / 18

式中,G?maxH(f)。利用该定义，试确定图P2-12中的理想带通滤波器和图P2-16中的低通系统的噪声等效带宽。 H(f) B １ －fc ０ 2B X(t) R C Y(t) fc 图P2-12 图P2-16

解：(1) 对于图P2-12有G?maxH(f) Beq?2?1

??0H(f)df??2B2Bfc?2fc?1?df?fc?BB?(fc?)?B 22 ∴图P2-12的系统的等效带宽为B (2) 对于图P2-16有G?maxH(f) Beq?2?1

??0H(f)df=?2?011?d(2?Rcf)df?

2?Rc?01?(2?Rcf)21?4?2R2c2f2 =

11 arctg(2?Rcf)|??02?Rc4Rc第三章 信源编码

3-4 X、Y是两个离散随机变量,其概率为P(X=x, Y=y)=P(x, y)

证明：I(X,Y)≥０，当且仅当X和Y统计独立时等号成立。 证明：?I(X,Y)????P(Xi?1j?1nmi,Yj)I(Xi,Yj)

????P(X,Y)logP(X)P(Y)

iji?1j?1mijnmP(Xi,Yj) ???P(Xi,Yj)logi?1j?1nmnP(Xi)P(Yj)P(Xi,Yj)

?P(Xi)P(Yj)??1? ???P(Xi,Yj)?i?1j?1???P(Xi,Yj)? ????P(Xi?1j?1nmi)P(Yj)?P(Xi,Yj)?0

? ∴I(X,Y)≥0, 当且仅当X和Y统计独立时

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