(3) 求在X?4条件下Y的条件分布以及在Y?3条件下X的条件分布。

【详解】(1)按题意， X的可能取值为1~4，Y的可能取值为1~3，(X,Y)的联合概率分布如下表，其中，(X?2,Y?1)表示卡片上的数字分别为?2,1?和?2,3?，所以P(X?2,Y?1)?1/12，其它pij可类似求得.

Y X 1 2 3 4 1 2 3 1/12 1/12 1/12 2/12 1/12 0 2/12 1/12 0 1/12 1/12 1/12 pi? 1/4 1/4 1/4 1/4 1 p?j 1/2 1/3 1/6 (2) X的边缘分布为

X 1 2 3 4 ，

P 1/4 1/4 1/4 1/4 Y 1 2 3 Y的边缘分布为 .

P 1/2 1/3 1/6 (3) 取定X?4，则把该行各概率除以p4?，即可得到在X?4条件下Y的条件分布:

Y 1 2 3

P 1/3 1/3 1/3 X 1 4 同理， 在Y?3条件下X的条件分布为 .

P 1/2 1/2 【例3】 (研05) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x,

其他.?0,求：(1) (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2) Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

f(x,y)??【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度；直接用条件概率公式计算即可. 【详解】 (1) 关于X的边缘概率密度

fX(x)??????f(x,y)dy

y 2x - y = 0 2x??dy, 0?x?1?2x, 0?x?1， ?????00, 其他? 其他??0, 关于Y的边缘概率密度

1?????ydx, 0?y?2 fY(y)??f(x,y)dx??2??? 其他?0, ?y?1?, 0?y?2??2， ?其他? 0, (2) Z的分布函数为 FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}，

1) 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；

2x - y = z O 1 x 11

2) 当0?z?2时， FZ(z)?P{2X?Y?z}?1?3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.

1z1(1?)(2?z)?z?z2， 224z?0? 0, ??12即Z的分布函数为 FZ(z)??z?z, 0?z?2

4?1, z?2?? ?1?1?z, 0?z?2故Z的的概率密度为 fZ(z)??. 2? 其他?0, 【评注】 求随机变量函数分布，一般都是通过定义用“分布函数法”计算. 【例4】 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?kx2y , (x,y)?G， f(x,y)?? 0 , 其他?其中G是由y?|x|和y?1围成的区域，

(1) 求k；

(2) 求X,Y的边缘密度函数； (3) 求P{Y?}. 【详解】 (1) 由规范性，

y y= - x 1 y = x 12O 1y1 x ??Gf(x,y)d???dy?kx2ydx?0?y152k?1，? k?；

215(2) fX(x)??????f(x,y)dy，

1152152xydy?x(1?x2)， ??x2411515x2ydy?x2(1?x2)， 当0?x?1时， fX(x)??x24?1522?x(1?x) , ?1?x?1fX(x)??4所以 ;

? 其他? 0 , ?y152??xydx?5y4 , 0?y?1???y而 fY(y)??f(x,y)dx??； 2???0 , 其他? 1(3) 记 B?{(x,y)|y?}，

21y15111522x2ydx?则 P{Y?}???f(x,y)d????， xyd???dy?0?y22322BB?G当?1?x?0时， fX(x)?114或解：P{Y?}??2fY(y)dy??25ydy?.

??0232

11 12