课时跟踪检测（三） 应用举例
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m C．33 m
解析：选D 由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝，
sin Csin B即AB＝
B．8 m D．43 m
ABACAC·sin C4·sin 120°
＝＝43.
sin Bsin 30°
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.C.
176
n mile/h 2
172
n mile/h 2
B．346 n mile/h D．342 n mile/h
＝，
sin 45°sin 120°
解析：选A 如图所示，在△PMN中，
PMMN
68×3MN176∴MN＝＝346，∴v＝＝ n mile/h.
422
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110米 C．220米
B．112米 D．224米
解析：选A 如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×近，故选A.
4．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )
3
＝h，h＝40(3＋1)≈109(米)．从选项来看110最接3
403
A．203 m， m 3C．10(3－2)m,203 m
B．103 m,203 m 153203 D. m， m
23
解析：选A 由题意，知h甲＝20tan 60°＝203(m)，
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝
403
(m)． 3
5．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．103 n mile C．52 n mile
106 B. n mile
3 D．56 n mile
解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在△ABC中，C＝180°－
BC10
60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝，解得BC＝56
sin 60°sin 45°
(n mile)．
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°. 由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7 km. 答案：7
7．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°， 设CD＝x，所以(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°， 又DA＝BD·cos 45°＝100×所以x＝
2
＝502， 2
DA·tan 45°
502×1－DA＝－502
tan 30°3
3
＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
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解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
BAB·sin∠ABO10×sin 45°106x＝＝＝(cm)．
sin∠AOBsin 60°3
106答案： 3
9.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．
1
解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×＝102
3＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形， ∴A1B2＝102.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°， ∴(B1B2)＝400＋200－2×20×102×∴B1B2＝102，
∴乙船每小时航行302海里．
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
解：设建筑物的高度为h，由题图知，
2
2
＝200， 2
PA＝2h，PB＝2h，PC＝
23
h， 3
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 60＋2h－4h得cos∠PBA＝，
2×60×2h4222
60＋2h－h3
cos∠PBC＝.
2×60×2h∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.
③
2
2
2
①
②
- 3 -