第四章 随机变量的数字特征

第四章基本内容与学习要求

内容提要：

1 随机变量的数学期望和方差。 2 几种常见分布的数学期望及方差。 3 契比雪夫不等式。 4 协方差和相关系数。 5 矩与协方差矩阵。

6大数定律

7中心极限定理。

重点难点：

重点：数学期望，方差，几种重要的随机变量的数学期望及方差。契比雪夫不等式、中心极限定理。

难点：协方差及相关系数。

学习要求：

1 理解数学期望、方差的概念及背景，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。

2 熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。

3 会利用契比雪夫不等式作简单的估计。

4 理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质与计算。 5 掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。 6 了解矩与协方差矩阵。

7 了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛钦大数定律，了解契比雪夫大数定律。

8 了解中心极限定理的含义及其客观背景，掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理。

9 会利用中心极限定理解决一般实际应用问题。

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§ 4. 1 数学期望

1. 数学期望的定义

（1）离散型随机变量的数学期望

定义4.1.1 设离散型随机变量X的概率分布为

P{X?xk}?pk,k?1,2,?. .如果级数

?xk?1?k，则称?xkpk为随机变量Xpk绝对收敛（即?xkpk??）

k?1k?1??的数学期望，记为EX.即有

EX

=

?xk?1?kpk.

数学期望EX是以概率为权的加权平均，体现了随机变量?取值的集中位置或平均水平，所以数学期望也称为均值或简称为期望。

例4.1.2求服从两点分布的随机变量X的数学期望。

解 设两点分布的概率分布为

X 0 1

pk q p

由定义得 EX?0?q?1?p?p.

例4.1.3设随机变量X?B(n,p),求EX.

kkn?k解 因为P{X?k}?Cnpq,k?0,1,2,?,n,

由离散型随机变量数学期望的定义，则

EX=?kP???k???kCpqknkk?0k?0nnnn?k=

?kk?0nn!pkqn?k

k!(n?k)!q （令i?k?1）

=np?(k?1)![(n?1)?(k?1)]!pk?1(n?1)!k?1[(n?1)?(k?1)] 2

=np(n?1)!piq[(n?1)?i]=np(p?q)n?1?np. ?i?0i![(n?1)?i]!n?1例4.1.4 设随机变量X?P(?),求EX.

解 因为P{X?k}???kk!e??,k?0,1,2,?,所以

EX??k?k!ek?0?k????e??

k?1(k?1)!???k ??e???e?e???(k?1)?!k?1??k?1?.

（2）连续型随机变量的数学期望

定义4.1.2

设连续型随机变量X的概率密度为p(x)，.如果积分

???????xp(x)dx绝对收敛（即

?，则称xp(x)dx??）

?????xp(x)dx为随机变量X的数学期望.即有

EX?

???xp(x)dx.

例4.1.5 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，求EX. 解 由于均匀分布的概率密度为

?1,a?x?b,? p(x)??b?a

?其它.?0,则

EX?????xp(x)dx?1a?bx2|b?. a2(b?a)2例4.1.6 设随机变量X服从参数为?的指数分布，试求EX.

解 已知X的概率密度为

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