第一章 解三角形

一、知识点总结 1．正弦定理: 变

2.余弦定理：

abc???2RsinAsinBsinC

①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC???边角互化abc②sinA=,sinB?,sinC?2R2R2R??③a:b:c?sinA:sinB:sinC（大角对大边：A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC）a+b+cabc④=???2RsinA+sinB+sinCsinAsinBsinC形：

?b2?c2?a2cosA??2bc?a2?b2?c2?2bccosA??2a2?c2?b2?22?b?a?c?2accosB??cosB?2ac?c2?b2?a2?2bacosC???b2?a2?c2?cosC?2ab? 3.三角形面积公式：

4.射影定理（了解）：

5.三角形中的常用结论：

(1)a?b?c,a?b?c(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)在?ABC中，A?B?a?b?sinA?sinB?cosA?cosBS?ABC?111111abcaha?bhb?chc或S?ABC?absinC?bcsinA?acsinB=2222224R

(3)在锐角三角形中，A和B是任意两个角，则sinA?cosB. (文字说明：锐角三角形中，任一角的正弦值大于其他角的余弦值) 理由：A?B??????0??B?A??sin(?B)?sinA?cosB?sinA2222?(4)在钝角三角形中，若C >,则sinA?cosB.2???? 理由：A?B??0?A??B??sinA?sin(?B)?sinA?cosB2222

(5)在一般三角形中，cosA?cosB?0 理由：A?B???0?A???B???cosA?cos(??B)?cosA??cosB?cosA?cosB?0

(6)三角形中的诱导公式：A?B?C???A?B???C?A?B?C?? 222sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC，tan(A?B)??tanC,二、常见题型 sinA?BCA?BC?cos,cos?sin,2222

1、解三角形

利用正弦定理：①已知两角和任意一边(、)，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角()，求其他边角（无解，一解，两解）

利用余弦定理：①已知三边()求三角（只有一解）

②已知两边及夹角()，求第三边和其他两角（只有一解） ③已知两边和其中一边的对角()，求其他边角（无解，一解，两解）

已知“”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：

定理应已知条件 用 1.A为钝角或直角，a＞b，一解，再求 a≤b，无解 2为锐角，先求，若＞1，无解； 若＝1，一解； 一般解法 正弦定两边和其中一边的对角() （如：a，b，A） 理 （先求角B） 若＜1，a≥b，一解（B是锐角） a＜b，两解（B是锐角或钝角） 余弦定理 （先求c边） 2、判断三角形形状或求值

方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）

方法三：角化边（统一化成边）

①常用公式：sinA?abc,sinB?,sinC?,2R2R2Rb2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2cosA?,cosB?,cosC?,2bc2ac2ab先利用余弦定理写出关于c的方程，再求c，最后根据方程根的情况确定三角形解的个数。 ①常用公式：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,a2?b2?c2?2bccosA?sin2A?sin2B?sin2C?2sinB?sinCcosA②常见结论：sinA=sinB?A?B(等腰三角形)??sin??sin?????+2k?或??????2k?)?(原理：?sin2A=sin2B?A?B(等腰三角形)或A?B?(直角三角形)?2?②常见结论：a2?b2?c2?A?90o(钝角三角形)a2?b2?c2?A?90o(直角三角形)?a2?b2?c2?222?b?a?c?锐角三角形?222?c?a?b