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第一章 解三角形

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

abc接圆的直径，即 ???2R（其中R是三角形外接圆的半径）

sinAsinBsinC2.变形：

1）化边为角：a:b:c?sinA:sinB:sinC；

asinAbsinBasinA?; ?; ?; bsinBcsinCcsinC 2）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC

sinAasinBbsinAa?; ?;?; sinBbsinCcsinCcabc 4）化角为边： sinA? ,sinB?,sinC?2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a，

asinAbsinB; ?; 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理?bsinBcsinCasinA?;求出b与c csinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A,

asinA 解法：由正弦定理?求出角B,由A+B+C=180o 求出角C，再使用正

bsinBasinA弦定理?求出c边

csinC

二.三角形面积

1111.S?ABC?absinC?bcsinA?acsinB

22212. S?ABC?(a?b?c)r,其中r是三角形内切圆半径.

213. S?ABC?p(p?a)(p?b)(p?c), 其中p?(a?b?c),

2abc4. S?ABC?,R为外接圆半径

4R 3）化角为边：

5.S?ABC?2R2sinAsinBsinC,R为外接圆半径

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三.余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC

b2?c2?a22.变形：cosA?

2bca2?c2?b2 cosB?

2aca2?b2?c2 cosC?

2ab注意整体代入，如：a2?c2?b2?ac?cosB?1 23．利用余弦定理判断三角形形状：

设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：

①若，

②若c2?b2?a2?A为直角

，所以为锐角

③若， 所以为钝角，则是

钝角三角形

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角

2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

四、应用题

1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b． 2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．

3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．

4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．

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5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.

6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.

视线

铅 仰角 直

水平线 线

俯角

视线

五、三角形中常见的结论

1）三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2）三角形三边关系： 两边之和大于第三边： 两边之差小于第三边：

，，

，，

； ；

3）在同一个三角形中大边对大角：A?B?a?b?sinA?sinB 4) 三角形内的诱导公式：

sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

?CCsin(?)cos()A?B?C22?2 tan?tan(?)??CC222cos(?)sin()2225) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.

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