※ 精 品 ※ 试 卷 ※

第三章 数系的扩充与复数的引入

章末复习

学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．

→22

(5)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a＋b (r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义

一一对应(1)复数z＝a＋bi←―――――→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． 一一对应→(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)←―――――→平面向量OZ. 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝

z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d2

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) 2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) 3．方程x＋x＋1＝0没有解．( × )

2

※ 推 荐 ※ 下 载 ※

※ 精 品 ※ 试 卷 ※

类型一 复数的概念

a2＋2a－15

例1 已知复数z＝a－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：

a2－4

2

(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0. 考点 复数的概念

题点 由复数的分类求未知数

解 由a－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a－4≠0，解得a≠±2. (1)由a＋2a－15＝0且a－4≠0， 得a＝－5或a＝3，

∴当a＝－5或a＝3时，z为实数． (2)由a＋2a－15≠0且a－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2，

∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数． (3)由a－a－6＝0且a＋2a－15＝0，得a＝3， ∴当a＝3时，z＝0. 引申探究

例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由． 解 由a－a－6＝0且a＋2a－15≠0， 且a－4≠0，得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数．

反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．

(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．

跟踪训练1 复数z＝log3(x－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数． 考点 复数的概念

题点 由复数的分类求未知数

解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

x－3x－3>0，??

所以?log2?x－3?＝0，

??x－3>0，

2

解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.

※ 推 荐 ※ 下 载 ※

※ 精 品 ※ 试 卷 ※

(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，

x－3x－3>0，??

所以?log2?x－3?≠0，

??x－3>0，

2

3＋21解得x>且x≠4.

2

3＋21

所以当x>且x≠4时，z为虚数．

2类型二 复数的四则运算

－23＋i?2?2 018?4－8i?－?－4＋8i?

例2 (1)计算：＋?； ?＋

1＋23i?1＋i?11－7i

2

2

z2－3z＋6

(2)已知z＝1＋i，求的模．

z＋1

考点 复数四则运算的综合运用 题点 复数的混合运算

i?1＋23i???2?2?1 009?4－8i＋8i－4??4－8i＋4－8i?1 009

解 (1)原式＝＋??＝i＋(－i)＋0＝0. ??＋??1＋i??1＋23i11－7i

z2－3z＋6?1＋i?2－3?1＋i?＋63－i

(2)＝＝＝1－i，

z＋12＋i2＋iz2－3z＋6∴的模为2.

z＋1

反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i的周期性 ①i

4n＋1

＝i，i

n＋1

4n＋2

＝－1，i

n＋3

4n＋3

＝－i，i＝1(n∈N)；

*

4n*

②i＋i

n＋i

n＋2

＋i＝0(n∈N)．

z跟踪训练2 (1)已知A．－1＋3i C．3＋i

考点 共轭复数的定义与应用 题点 利用定义求共轭复数 答案 B

＝2＋i，则复数z等于( ) 1＋i

B．1－3i D．3－i

z解析 ∵

＝2＋i，∴z＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i. 1＋i

(2)已知z是复数，z－3i为实数，

※ 推 荐 ※ 下 载 ※

z－5i

2－i

为纯虚数(i为虚数单位)．