-

∴，

解得：，

∴λ+μ=

17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1）求f（1）的值；

（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）； （3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2； （2）令x＞0，则﹣x＜0， 则f（﹣x）=

（1+x）﹣x=f（x），

（1+x）﹣x，

（1﹣x）+x．

故x＞0时，f（x）=

故f（x）=；

故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减； （3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2， lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1， lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1， 故lga＞1或lga＜﹣1， 解得：a＞10或0＜a＜

．

-

-

18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x﹣2ax+5．

（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； （2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1， ∴f（x）在[1，a]上单调递减， ∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．

（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立， 即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立， 故a≥令g（x）=

且a≤

在x∈[，]恒成立，

，

2

，x∈[，]，则g′（x）=﹣

令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤， 故g（x）在[，）递增，在（，]递减， 故g（x）max=g（）=令h（x）=

，

＜0，

，x∈[，]，h′（x）=

故h（x）在x∈[，]递减， h（x）min=h（）=7， 综上：

19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a． （1）当∠PAQ=

时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；

≤a≤7．

（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

-

-

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=∴PB=100tanα，DQ=100tan（∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==

=

﹣α﹣

=

）=100tan（

﹣α），

100tan（

]，

﹣α）

，

100×100tanα+，其中α∈[0，

∴当sin（2α+）=1时，即θ=时，S取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）

（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y， 在△ABP中，tanα=∴tan（α+β）=∵PB+DQ=PQ， ∴100﹣x+100﹣y=

，整理可得：x+y=100+

，

，在△ADQ中，tanβ=

=

，

，

∴tan（α+β）===1，

∴α+β=，

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=

20．（16分）已知函数f（x）=

sinxcosx+sin2x﹣．

（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；

-

-

（2）设函数g（x）=f（（i）当ω=4，φ=

+），其中常数ω＞0，|φ|＜

，

．

时，函数y=g（x）﹣4λf（x）在[]上的最大值为，求λ的值； ，且其图象过点A（

，1），记

（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣

函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式． 【解答】解：（1）函数f（x）=化简可得：f（x）=

sinxcosx+sin2x﹣．

）

sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣

，

f（x）的最小正周期T=由2x﹣

=

，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=

+

）=sin（ωx+φ），

，（k∈Z）．

（2）由函数g（x）=f（（i）当ω=4，φ==cos（4x﹣﹣

时，函数y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+

）=1﹣2sin2（2x﹣

）﹣4λsin（2x﹣）

）﹣4λsin（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x

）+λ]2+1+2λ2．

，

]上，

]．

∵x∈[则2x﹣

∈[0，

故sin（2x﹣）∈[0，1]．

；

）+λ]2+1+2λ2=1，

当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ=当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣与题意不符．

当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣

）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣

）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ=，

解得：λ=﹣，不在其范围内，故舍去． 故得满足题意的λ的值为

．

-

-

（ii）函数g（x）=sin（ωx+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣且其图象过点A（点（当点（

=

，1），则有

=

=3π，解得：T=4π，∴ω=

+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴ω=

+φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜

．∴φ=﹣． ．∴φ=

， =．

，

，1）在图象上，可得：

=3π，解得：T=

，0）在图象上，

不符合题意．舍去．

∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）

点（

，1）在图象上，

验证：sin（）=sin

=1符合题意．

故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣

）．

-