,
解得,
∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5;
(2)令y=0,得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴 的另一个交点坐标C(5,0); 由于P是对称轴x=2上一点, 连接AB,由于
,
要使△ABP的周长最小,只要PA+PB最小;
由于点A与点C关于对称轴x=2对称,连接BC交对称轴于点P,则PA+PB=BP+PC=BC,根据两点之间,线段最短,可得PA+PB的最小值为BC; 因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点; 设直线BC的解析式为y=kx+b, 根据题意可得解得
所以直线BC的解析式为y=x﹣5;(9分) 因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组
的解,
解得,
所求的点P的坐标为(2,﹣3);
(3)M(5,0)或(﹣1﹣
,0)或(
﹣1,0)或(2,0).
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D. (1)求该二次函数的解析式;
(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点, ∴
,
解得,
∴该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4;
(2)在线段BC上是存在点E,使得△CDE为等腰三角形, 由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3, ∴D(3,0). ∵C(8,0),
∴CD=5.
由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B(0,﹣4). 设BC的解析式为y=kx+b, 将B、C点坐标代入,得
,
解得,
BC的解析式为y=x﹣4.
E在线段BC上,设E点坐标为(m, m﹣4).
①当CD=DE时,即(m﹣3)2+(m﹣4)2=25,解得m1=0,m2=8(不符合题意舍去), 当m=0时, m﹣4=﹣4, ∴E1(0,﹣4);
②当EC=DE时,(m﹣8)2+(m﹣4)2=(m﹣3)2+(m﹣4)2,解得m3=当m=∴E2(
时, m﹣4=×,﹣);
,m5=8﹣2
(不符合题意舍),
﹣4=﹣,
,
③当CD=CE时,(m﹣8)2+(m﹣4)2=25,解得m4=8+2当m=8+2
时, m﹣4=
,即E3(8+2
,
);
综上所述:所有符合条件的点E的坐标为E1(0,﹣4); E2(
,﹣);E3(8+2
,).
9.如图,直线y=x+b与二次函数y=x2+x﹣4交于A、B两点,与y轴交于点C,是否存在这样的b,使得△AOB是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出b;若不存在,说明理由.
【解答】解:∵直线y=x+b与二次函数y=x2+x﹣4, ∴x+b=x2+x﹣4, 解得:x1=
,x2=﹣
,
可以求得A、B的交点坐标分别为: B﹙
,
+b﹚,A﹙﹣
,﹣
+b﹚,
∵∠AOB=90°, ∴由勾股定理得: OA2+OB2=AB2, ∴(﹣
)2+(﹣
+b)2+
+(
+b)2=(2
)2+(
+b+
﹣b)2,
∴b2﹣2b﹣8=0 解得:b1=4或b2=﹣2.
10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,﹣3),C(0,﹣3). (1)求此函数的解析式和对称轴;
(2)试探索抛物线的对称轴上存在几个点P,使三角形PAB是直角三角形,并求出点P的坐标.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,﹣3),C(0,﹣3),