（2）由△EFB∽△DFC得出∠ABD=∠ACE，进而判断△AEC∽△FEB，再利用相似三角形的性质解答即可．

【解答】证明：（1）∵EF?FC=FB?DF， ∴

．

∵∠EFB=∠DFC， ∴△EFB∽△DFC． ∴∠FEB=∠FDC． ∵CE⊥AB， ∴∠FEB=90°． ∴∠FDC=90°． ∴BD⊥AC．

（2）∵△EFB∽△DFC， ∴∠ABD=∠ACE． ∵CE⊥AB，

∴∠FEB=∠AEC=90°． ∴△AEC∽△FEB． ∴∴

． ．

∵∠AEC=∠FEB=90°， ∴△AEF∽△CEB． ∴

，

∴AF?BE=BC?EF．

【点评】考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的对应边比值相等的性质解答，

24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．

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（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；

（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点（1，0），B（5，0）代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；

（2）先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来，再证明△CPA∽△CBP，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP，然后过P作PH⊥x轴于H，接下来，由△PCH为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而可得到点P的坐标，然后由tan∠CPA=tan∠CBP=

求解即可；

（3）过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME．然后证明△AEM∽△BMA，依据相似三角形的性质可求得ME的长，从而可得到点E的坐标；当点E在M右侧时，记为点E′，然后由点E′与E关于直线AN对称求解即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0）， ∴

，解得

．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5． （2）∵A（1，0），B（5，0）， ∴OA=1，AB=4．

∵AC=AB且点C在点A的左侧，

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∴AC=4． ∴CB=CA+AB=8．

∵线段CP是线段CA、CB的比例中项， ∴

=

． ．

∴CP=4

又∵∠PCB是公共角， ∴△CPA∽△CBP． ∴∠CPA=∠CBP． 过P作PH⊥x轴于H．

∵OC=OD=3，∠DOC=90°， ∴∠DCO=45°． ∴∠PCH=45° ∴PH=CH=

CP=4，

∴H（﹣7，0），BH=12． ∴P（﹣7，﹣4）． ∴tan∠CBP=

=，tan∠CPA=．

（3）∵抛物线的顶点是M（3，﹣4）， 又∵P（﹣7，﹣4）， ∴PM∥x轴．

当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME．

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过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．

∵∠AEM=∠AMB， ∴△AEM∽△BMA． ∴∴

==．

．

∴ME=5，

∴E（﹣2，﹣4）．

当点E在M右侧时，记为点E′， ∵∠AE′N=∠AEN，

∴点E′与E 关于直线AN对称，则E′（4，﹣4）． 综上所述，E的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△AEM∽△BMA是解题的关键．

25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G． （1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

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