（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【分析】（1）先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论； （2）作EH⊥AF于点H，如图1，利用勾股定理计算出AB=2AEG得到=

=

=

，再证明Rt△AEF∽Rt△ACB得到

x，AE=

=

=

，利用△EFG∽△

，所以

==

，则EG=2x，AG=4x，AF=3x，EF=x，接着?利用相似比表

示出EH=x，AH=x，然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系，最后利

用CF=4﹣3x可确定x的范围；

（3）先表示CG=4x﹣4，GH=x，讨论：当ED=EF=

x，所以DC=2﹣

x时，如图1，则BD=DE=

x；当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM=EF=

x，证明△DEM∽△BAC，利用相似比表示DE=x，则BD=DE=x，所以CD=2﹣x；当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，证明△NEF∽△CAB，利用相似比表示出EN=x，则DE=2EN=

x，所以BD=DE=

x，CD=2﹣

x，然

后利用△GCD∽△GHE，根据相似比得到关于x的方程，再分别解方程求出定义的x的值即可．

【解答】（1）证明：∵ED=BD， ∴∠B=∠2， ∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90°． ∵EF⊥AB，

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∴∠BEF=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠A=∠2， ∵∠EGF=∠AGE， ∴△EFG∽△AEG；

（2）解：作EH⊥AF于点H，如图1，在Rt△ABC中，AB=∵△EFG∽△AEG， ∴

=

=

，

=2

，

∵∠EAF=∠CAB， ∴Rt△AEF∽Rt△ACB， ∴∴

===

==，即，

=

=

，

∴EG=2x，AG=4x， ∴AF=AG﹣FG=3x， ∴EF=

x，AE=

x，

∵EH∥BC， ∴

=

=

，即

=

=

，

∴EH=x，AH=x，

∴y=FG?EH=?x?x=x2（0＜x≤）， （3）解：CG=AG﹣AC=4x﹣4，GH=AG﹣AH=4x﹣当ED=EF=∴DC=2﹣∵CD∥EH， ∴△GCD∽△GHE， ∴

x=x，

x时，如图1，则BD=DE=x，

x，

=，即（2﹣x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=

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；

当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则EM=EF=∵∠DEM=∠A， ∴△DEM∽△BAC， ∴

=

，即

=

，解得DE=x，

x，

∴BD=DE=x， ∴CD=2﹣x， ∵CD∥EH， ∴△GCD∽△GHE， ∴

=

，即（2﹣x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=；

当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN， ∵∠NEF=∠A， ∴△NEF∽△CAB， ∴

=

，即

=

，解得EN=x，

∴DE=2EN=∴BD=DE=∴CD=2﹣∵CD∥EH，

x， x， x，

∴△GCD∽△GHE， ∴

=

，即（2﹣

x）：x=（4x﹣4）：x，解得x=

或

．

；

综上所述，FG的长为或

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【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题．

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