2017年高考数学全国卷(理科新课标Ⅱ )(含答案解析) 下载本文

【点评】本题考查等差数列的求和,裂项消项法求和的应用,考查计算能力.

16.(5分)(2017?新课标Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= 6 . 【分析】求出抛物线的焦点坐标,推出M坐标,然后求解即可.

【解答】解:抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点, 可知M的横坐标为:1,则M的纵坐标为:|FN|=2|FM|=2故答案为:6.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.

17.(12分)(2017?新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.

【分析】(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B,再利用诱导公式化简sin(A+C),利用降幂公式化简8sin2,结合sin2B+cos2B=1,求出cosB, (2)由(1)可知sinB=b.

【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2, ∴sinB=4(1﹣cosB), ∵sin2B+cos2B=1,

∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1, ∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0,

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=6.

,利用勾面积公式求出ac,再利用余弦定理即可求出

∴cosB=;

(2)由(1)可知sinB=∵S△ABC=ac?sinB=2, ∴ac=

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×

×

=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4, ∴b=2.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的面积公式,二倍角公式和同角的三角函数的关系,属于中档题

18.(12分)(2017?新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

旧养殖法 新养殖法 箱产量<50kg 箱产量≥50kg (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精

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确到0.01). 附:

P(K2≥k) K K2=

0.050 3.841 .

0.010 6.635 0.001 10.828 【分析】(1)由题意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得发生的频率,即可求得其概率;

(2)完成2×2列联表:求得观测值,与参考值比较,即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

(3)根据频率分布直方图即可求得其平均数.

【解答】解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”, 由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

则旧养殖法的箱产量低于50kg:(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62, 故P(B)的估计值0.62,

新养殖法的箱产量不低于50kg:(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66, 故P(C)的估计值为,

则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092; ∴A发生的概率为0.4092; (2)2×2列联表:

旧养殖法 新养殖法 总计 则K2=

由15.705>6.635,

∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)由题意可知:方法一:

=5×(37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5

箱产量<50kg 62 34 96 ≈15.705,

箱产量≥50kg 38 66 104 总计 100 100 200 第18页(共25页)

×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008), =5×10.47, =52.35(kg).

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)

方法二:由新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图的面积:

(0.004+0.020+0.044)×5=0.034, 箱产量低于55kg的直方图面积为:

(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法产量的中位数的估计值为:50+新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg).

【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查独立性检验,考查计算能力,属于中档题.

19.(12分)(2017?新课标Ⅱ)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB;

(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.

≈52.35(kg),

【分析】(1)取PA的中点F,连接EF,BF,通过证明CE∥BF,利用直线与平面平行的判定定理证明即可.

(2)利用已知条件转化求解M到底面的距离,作出二面角的平面角,然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可.

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【解答】(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点, 所以EF

AD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD,

∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF?平面PAB,CF?平面PAB, ∴直线CE∥平面PAB;

(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD, ∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.

取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,设AD=2,则AB=BC=1,OP=

∴∠PCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°, 可得:BN=MN,CN=

MN,BC=1,

,MN=

可得:1+BN2=BN2,BN=

作NQ⊥AB于Q,连接MQ,

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角,MQ==

=

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为:

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