习题答案

第1章 三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = ，P(B) = ，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?(1) 当P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=+=. 3．已知事件A，B满足P(AB) 解：因为P(AB)即P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)．

?P(AB)，

?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)，

所以 P(B)?1?P(A)?1?p.

4．已知P(A) = ，P(A – B) = ，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = ，所以P(A )– P(AB) = , P(AB) = P(A )– , 又因为P(A) = ，所以P(AB) =– =，P(AB)?1?P(AB)?0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有n4?C10种，以下求至少有两只配成一双的取法k：

法一：分两种情况考虑：k1212112?C5)+C52 C42(C2 其中：C5C4(C2)为恰有1双配对的方法数

11C8?C62法二：分两种情况考虑：k?C?+C5

2!1511C8?C6 其中：C?2!15为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：k 其中：C5(C81211?C5(C82?C4)+C52

1?C4)为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k法五：考虑对立事件：k 其中：C544414?C10-C5(C2)

12?C5C8-C52

14(C2)为没有一双配对的方法数

1111C10?C8?C6?C4法六：考虑对立事件：k?C?4!4101111C10?C8?C6?C4 其中：

4!k13. 所求概率为p?4?C1021

为没有一双配对的方法数

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

12C3A5C5211 解：(1) 法一：p?3?，法二：p? ?3C101212A10122C3A4C411 (2) 法二：p?3?，法二：p? ?3A1020C1020 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

231C32?A4A4C4391P(M1)?3?, P(M2)??P(M)??, 34316844316

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

112C32C3C2C2 P(M2)?2?0.3,P(M1)??0.6,P(M1)?2?0.1

C52C5C5

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

M?M1?M2且M1?M2??.

22C5C313所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?2?2?.

C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间因此

= {(x，y)：0 x，y 1}

： x + y

6/5}

2 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y)

1?4?1????A的面积17． 2?5?P(A)????的面积125图

11．随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求

原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率． 4表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，面上建立xOy直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

={(x，y)：0?x?2a,0?y?2ax?x2}

事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?” 4 ={(x，y)：0?因此

x?2a,0?y?2ax?x2,0????4}

1212a??aA的面积2114P(A)????．

12?的面积?2?a2111?,P(BA)?,P(AB)?，求P(A?B)． 432P(AB)111111???, 解：P(AB)?P(A)P(BA)???,P(B)?P(A|B)12264312 12．已知P(A)

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1111???. 46123 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

22C6C422P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，

C103C1015P(B|A)?P(AB)P(B)221??/?

P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

1C232P(A)?1?,P(A)?，由全概率公式得

5C55113C52C423P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??1??1?,

5C95C945由贝叶斯公式得

1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)???1/?.

P(B)5C94523