速大。
伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。
图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的a1处和a2处用横截面截出一段流体，即a1处和a2处之间的流体，作为研究对象。
a1处左边的流体对研究对象的压强为p1， a1处的横截面积为S1，流速为v1，高度为h1，
方向垂直于S1向右。
a2处的横截面积为S2，流速为v2，高度为h2，a2处左边的流体对研究对象的压强为p2，方向垂直于S2向左。
经过很短的时间间隔?t，这段流体的左端S1由a1移到b1。右端S2由a2移到b2。两端移动的距离分别为?l1和?l2。左端流入的流体体积为?V1?S1?l1，右端流出的流体体积为?V2?S2?l2，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，?V1??V2，记为?V。
现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。
作用在液体左端的力F1?p1S1，所做的功
W1?F1?l1?p1S1?l1?p1?V。
作用在右端的力F2?p2S2，所做的功
a2b2p2W2??F2?l2??p2S2?l2??p2?V。
外力所做的总功
W?W1?W2?(p1?p2)?V （1）
外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是a1到a2这段流体的机械能E1，末状态的机械能是b1到b2这段流体的机械能E2。由b1到a2这一段，经过时间?t，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度?和各点的流速v没有改变，
a1b1h1h2p1图4-7-3
动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变E2?E1就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。
由于m???V，所以流入的那部分流体的动能为
1212mv1??v1?V2 2
重力势能为
mgh1??gh1?V
流出流体的动能为
1212mv2??v2?V22
重力势能为
mgh2??gh2?V
机械能的改变为
E2?E1?12?(v2?v12)?V??g(h2?h1)?V2 （2）
理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的
力所做的总功W等于机械能的改变
E2?E1，即 W=E2?E1 （3）
将（1）式和（2）式代入（3）式，得
整理后得
(p1?p2)?V?12?(v2?v12)?V??g(h2?h1)?V2
p1?1212?v1??gh1?p2??v2??gh222 （4）
a1和a2是在流体中任意取的，所以上
式可表示为对管中流体的任意处：
（4）式和（5）式称为伯努利方程。
流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为
p?12?v??gh?2常量 （5）
1p??v2?2常量 （6）
图4-7-4
从（6）式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流
速v小的地方压强p大。
知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同
甲：不转球向行驶时（图4-7-4）如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的
危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。
伯努利方程的应用：
球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周
乙：旋转球图4-7-5
围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为m1和m2。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。
设弹簧原长为l0，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 m1g?kx0 ①
取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为
A1k(x0?x)2?(?m2gl0)2 ②
撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长x?时，系统的机械能为 Ex??m1gx?Ex??m1g(x0?x?)?12kx??(?m2gl0)2 ③
B图4-7-6
x0?x?x0l0AFAA在x处时，其受力满足
? F?m1g?k(x0?x)?0，
以①式的m1g?kx0代入上式，乃有
AxOF?kx ④
?当F撤去A上升到x0?x处时，弹簧的弹
力大小为kx?，设此时B受到地面的支持力为N，
则对于B应有
N?kx??m2g?0
要B对地无压力，即N=0，则上式变为
BB 图4-7-7
BBkx??m2g ⑤
?因为A由x处上升至x0?x处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即
Ex?=Ex ⑥
联立解②~⑥式，可得
F?m1g?m2g。
显然，要出现B对地无压力的情况，应为F≥（m1?m2)g。当F=（m1?m2)g时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F＞（m1?m2)g时，B将出现离开地面向上跳起的情况。
§4．8 碰撞
质量m1和m2的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为v10和v20及v1和v2，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到m1v10?m2v20?m1v1?m2v2 根据两物块在碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分类为下列几种 （1）弹性碰撞
在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有
11112222m1v10?m2v20?m1v1?m2v22222
结合动量守恒解得
v1?m1?m22m2v10?v20m1?m2m1?m2
2m2m?m1v2?v10?2v20m1?m2m1?m2
对上述结果可作如下讨论
①m1?m2，则v1?v20，v2?v10，即m1m2交换速度。
②若m1＞＞m2，且有v20=0，则v1?v10，v2?2v10即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。
③若m1＜＜m2，且v20=0，则v1??v10，v2?0，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。
（2） 完全非弹性碰撞
两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。
m1v10?m2v20?(m1?m2)v
碰撞过程中损失的机械能为
m1v10?m2v20v?m1?m211122m1v10?m2v20?(m1?m2)v22221mm?(12)(v10?v20)22m1?m2 ?E?（3 ）一般非弹性碰撞，恢复系数
一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度v1?v2，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢
v20lv20v10nv20nm2v10v10l图4-9-1
m1