复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为
e?v2?v1v10?v20
①弹性碰撞， e=1。
②完全非弹性碰撞 v2?v1，e=0。 ③一般非弹性碰撞 0＜e＜1。 （4） 斜碰
两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，如图4-9-1所示 设两物间的恢复系数为e，设碰撞前m1、m2速度为v10、v20，
其法向、切向分量分别为v10n、v20n、v10?、v20?，碰后分离速度v1、v2，法向、切向速度分量v1n、v2n、v1t、v2t，则有
e?v2n?v1nv10n?v20n
若两物接触处光滑，则应有m1、m2切向速度分量不变 v1t?v10t、v2t?v20?
若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。
§4．9 质心及质心运动
4．9．1 质心及质心位置
任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当需要将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。
注意：质心是一个假想的质点。
?min设空间有N个质点，其质量、位置分别记作、，质量组质心记为C，则质量、位置。 mC??mi
在x、y、z直角坐标系中，记录质心的坐标位置为
xC??mixi?mi ?miyiyC??mi
?mizi?mi
4．9．2、质心的速度、加速度、动量
zC??????re?mi?ri/?t?mivivc????t?mi?mi，在空间直角坐标系中，质心速度可表达为
质心速度vcx??mivix?mi ?miviy?mi ?mivizvcz??mi
???v??mvp?mcii质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。 质心的动量，i?质心的加速度a
??vi??mi??ma??vc?i?iiac???t?mi?mi ????Fi?F1ac???mimc
??mcac??Fi
由上式可见，当质点组所受合外力为零时，质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。 同样，质点组的动量定理也可表述为
vcy?????Ii?mcvc2?mcvc1
外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。 4．9．3、质心的动能与质点组的动能
以二个质点为例，质量m1、m2两质点相对于静止参照系速度v1、v2，质心C的速度
vC，
??vv12二质点相对于质心速度是和，可以证明有
1122m1v1?m2v222
112?21?2?mCvC?m1v1?m2v222 2
?EK?EKC?EK EK?即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。
§4．10天体的运动与能量
4．10．1、天体运动的机械能守恒
二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动
时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有
E??GMm1?GMm122?mv1???mv2r12r22
v1v2r2当运动天体背离不动天体运动时，EP不断增大，而EK将不断减小，可达无穷远处，此时EP?0而EK≥0，则应满
足E≥0，即
r1M?GMm12?mv?0r2
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
?GMm12?mv?0R2 2GMv??2Rg?11.2kmsR v我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为
图4-10-1
2倍。
另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以
对m而言，遵循角动量守恒
yb?av2??mv?r?恒量
或 mvr?sin??恒量
OM(?,0)ax?bv1?是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，
即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。
图4-10-2 4．10．2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。
i）椭圆轨道
如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为
x2y2??1a2b2 （a>b）
22c?a?b则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度v1，远地点速度v2，则有
1GMm1GMm22E?mv1??mv2?2a?c2a?c mv1(a?c)?mv2(a?c)
或由开普勒第二定律：
11v1(a?c)?v2(a?c)2 2
可解得
??v1?(a?c)GM/(a?c)?a???v2?(a?c)GM/(a?c)?a
代入E得
E??GMm?02a
ii)抛物线
设抛物线方程为
y?Ax2
1太阳在其焦点（4A）处，则m在抛物线顶点处能量为
1GMm122E?mv0??mv0?4AGMm122()4A
112??mv0/??GMm/()22A，则有4A得到 可以证明抛物线顶点处曲率半径
0,v0?8AGM
抛物线轨道能量
ybcO1E?m?(8AGM)?4AGM?02
iii）双曲线 设双曲线方程为
CDaF(c,0)xx2y2??1图4-10-3 a2b2
22焦距c?a?b，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3
所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有
1GMm122mv0??mv?2c?x2
考虑到当r??，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC为 E?FC?cb/a2?b2?b
故有
11vD(c?a)?v??b22 或 mvD(c?a)?mv??b